funkcja tworząca

[parchimus]

Wyznaczyć funkcję tworzącą liczby rozmieszczeń kul w 4 szufladkach. Takich, że w 1 i 2 jest parzysta liczba kul a w 3 i 4 conajwyżej 2. Wyznaczyć liczbę takich rozmieszczeń dla 6 kul.

[Gouranga]

Dla pierwszej i drugiej szufladki masz możliwości \(\displaystyle{ 0,2,4,6}\), dla trzeciej i czwartej \(\displaystyle{ 0,1,2}\), więc pierwszą i drugą reprezentuje wyrażenie \(\displaystyle{ z^0 + z^2 + z^4 + z^6}\) a trzecią i czwartą \(\displaystyle{ z^0 + z^1 + z^2}\). Teraz mnożysz przez siebie kolejne szufladki:
\(\displaystyle{ \left(z^0 + z^2 + z^4 + z^6 \right)^2 \left(z^0 + z^1 + z^2 \right)^2}\)
Te drugie potęgi wynikają oczywiście z tego, że masz po dwie takie same szufladki.
Odpowiedzią dla sześciu kul będzie współczynnik stojący przy \(\displaystyle{ z^6}\) w rozwinięciu tego wyrażenia. Możesz to sobie przeliczyć, ale możesz też skorzystać z poniższego zapisu:
\(\displaystyle{ \left(z^0 + z^2 + z^4 + z^6 \right)^2 \left(z^0 + z^1 + z^2 \right)^2 \quad \left[z^6 \right]}\)