Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

Post autor: matemix » 23 maja 2020, o 20:41

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry \(\displaystyle{ 1,2,3}\), przy czym cyfra \(\displaystyle{ 1}\) występuje dokładnie trzy razy. Takich liczb jest podobno \(\displaystyle{ 15360}\).

Możemy rozważyć wszystkie liczby siedmiocyfrowe złożone z \(\displaystyle{ 2,3}\) i pominąć chwilowo jedynki, które mają w tych liczbach występować. Będzie ich \(\displaystyle{ 2^{7}}\) (wariacja z powtórzeniami).

Teraz nasze liczby siedmiocyfrowe możemy uzupełnić jedynkami. Mamy na to \(\displaystyle{ 8}\) możliwych miejsc. Trzy jedynki w \(\displaystyle{ 8}\) pustych miejscach możemy ułożyć na \(\displaystyle{ \frac {8!}{(8-3)!}=336}\) sposobów (wariacja bez powtórzeń, 3-wyrazowa). Zatem ogółem takich liczb możemy utworzyć \(\displaystyle{ 128 \cdot 336 = 43008}\).

Pytanie gdzie się mylę?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7583
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 226 razy
Pomógł: 2997 razy

Re: Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

Post autor: kerajs » 23 maja 2020, o 20:48

Jedynki są nierozróżnialne więc podziel swój wynik przez \(\displaystyle{ 3!}\) . W ten sposób masz wszystkie liczby 10 cyfrowe ale żadne dwie jedynki ze sobą nie sąsiadują. Znajdź brakujące liczby 10 cyfrowe, czyli te gdzie dwie lub trzy jedynki sąsiadują ze sobą.
Ostatnio zmieniony 23 maja 2020, o 20:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26408
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4417 razy

Re: Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

Post autor: Jan Kraszewski » 23 maja 2020, o 20:55

Dużo prościej jest najpierw wybrać miejsca na jedynki na \(\displaystyle{ \binom{10}{3}}\) sposobów, a potem na pozostałe miejsca wpisać dwójki i trójki na \(\displaystyle{ 2^7}\) sposobów.

Wszystkich liczb będzie zatem \(\displaystyle{ \binom{10}{3}\cdot 2^7=120\cdot 128=15360.}\)

JK

matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Re: Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

Post autor: matemix » 23 maja 2020, o 21:21

A jak znaleźć liczbę takich ciągów zero-jedynkowych, które zwierają dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) jedynki i \(\displaystyle{ 5}\) zer. Rozwiązywałem takie zadanie już kilka razy w przeszłości i znowu nie pamiętam jak to zrobić. Bo tą drogą można to też rozwiązać, prawda?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26408
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4417 razy

Re: Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

Post autor: Jan Kraszewski » 23 maja 2020, o 21:39

Masz ciąg długości osiem z trzema zerami i pięcioma jedynkami. Wybierasz miejsca na zera na \(\displaystyle{ \binom{8}{3}}\) sposobów, na pozostałych miejscach wpisujesz jedynki, więc wynik to \(\displaystyle{ \binom{8}{3}}\).

JK

matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 400
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Re: Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

Post autor: matemix » 24 maja 2020, o 07:58

Ok, metoda wypełnienia ośmiu wolnych miejsc jedynkami była błędna, bo nie uwzględnia przypadku sąsiadowania ze sobą jedynek. Z tego wynika, że tych liczb będzie jeszcze więcej, a \(\displaystyle{ 43008}\) to liczba liczb, które można utworzyć, gdy jedynki ze sobą nie sąsiadują. Przynajmniej rozwiązując to tą metodą. Nadal nie rozumiem gdzie jest błąd.
kerajs pisze:
23 maja 2020, o 20:48
Jedynki są nierozróżnialne więc podziel swój wynik przez \(\displaystyle{ 3!}\) . W ten sposób masz wszystkie liczby 10 cyfrowe ale żadne dwie jedynki ze sobą nie sąsiadują. Znajdź brakujące liczby 10 cyfrowe, czyli te gdzie dwie lub trzy jedynki sąsiadują ze sobą.
Nie rozumiem. Co to znaczy, że są nierozróżnialne?

PS Rozumiem rozwiązanie Kraszewskiego, ale nie rozumiem gdzie w moim rozwiązaniu jest błąd.

Dodano po 29 minutach 16 sekundach:
Ok, już wiem, że pomyliłem wariację bez powtórzeń z kombinacją bez powtórzeń, licząc na ile sposobów możemy wypełnić \(\displaystyle{ 8}\) pustych miejsc jedynkami. Będzie ich tylko \(\displaystyle{ 56}\). Teraz wychodzi mi za mało rozwiązań.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26408
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4417 razy

Re: Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

Post autor: Jan Kraszewski » 24 maja 2020, o 11:38

matemix pisze:
24 maja 2020, o 08:27
Teraz wychodzi mi za mało rozwiązań.
Za mało, bo
matemix pisze:
24 maja 2020, o 08:27
nie uwzględnia przypadku sąsiadowania ze sobą jedynek.
JK

ODPOWIEDZ