Wszystkie liczby dziesięciocyfrowe

[matemix]

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry \(\displaystyle{ 1,2,3}\), przy czym cyfra \(\displaystyle{ 1}\) występuje dokładnie trzy razy. Takich liczb jest podobno \(\displaystyle{ 15360}\).

Możemy rozważyć wszystkie liczby siedmiocyfrowe złożone z \(\displaystyle{ 2,3}\) i pominąć chwilowo jedynki, które mają w tych liczbach występować. Będzie ich \(\displaystyle{ 2^{7}}\) (wariacja z powtórzeniami).

Teraz nasze liczby siedmiocyfrowe możemy uzupełnić jedynkami. Mamy na to \(\displaystyle{ 8}\) możliwych miejsc. Trzy jedynki w \(\displaystyle{ 8}\) pustych miejscach możemy ułożyć na \(\displaystyle{ \frac {8!}{(8-3)!}=336}\) sposobów (wariacja bez powtórzeń, 3-wyrazowa). Zatem ogółem takich liczb możemy utworzyć \(\displaystyle{ 128 \cdot 336 = 43008}\).

Pytanie gdzie się mylę?

[kerajs]

Jedynki są nierozróżnialne więc podziel swój wynik przez \(\displaystyle{ 3!}\) . W ten sposób masz wszystkie liczby 10 cyfrowe ale żadne dwie jedynki ze sobą nie sąsiadują. Znajdź brakujące liczby 10 cyfrowe, czyli te gdzie dwie lub trzy jedynki sąsiadują ze sobą.

[Jan Kraszewski]

Dużo prościej jest najpierw wybrać miejsca na jedynki na \(\displaystyle{ \binom{10}{3}}\) sposobów, a potem na pozostałe miejsca wpisać dwójki i trójki na \(\displaystyle{ 2^7}\) sposobów.

Wszystkich liczb będzie zatem \(\displaystyle{ \binom{10}{3}\cdot 2^7=120\cdot 128=15360.}\)

JK

[matemix]

A jak znaleźć liczbę takich ciągów zero-jedynkowych, które zwierają dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) jedynki i \(\displaystyle{ 5}\) zer. Rozwiązywałem takie zadanie już kilka razy w przeszłości i znowu nie pamiętam jak to zrobić. Bo tą drogą można to też rozwiązać, prawda?

[Jan Kraszewski]

Masz ciąg długości osiem z trzema zerami i pięcioma jedynkami. Wybierasz miejsca na zera na \(\displaystyle{ \binom{8}{3}}\) sposobów, na pozostałych miejscach wpisujesz jedynki, więc wynik to \(\displaystyle{ \binom{8}{3}}\).

JK

[matemix]

Ok, metoda wypełnienia ośmiu wolnych miejsc jedynkami była błędna, bo nie uwzględnia przypadku sąsiadowania ze sobą jedynek. Z tego wynika, że tych liczb będzie jeszcze więcej, a \(\displaystyle{ 43008}\) to liczba liczb, które można utworzyć, gdy jedynki ze sobą nie sąsiadują. Przynajmniej rozwiązując to tą metodą. Nadal nie rozumiem gdzie jest błąd.

Jedynki są nierozróżnialne więc podziel swój wynik przez \(\displaystyle{ 3!}\) . W ten sposób masz wszystkie liczby 10 cyfrowe ale żadne dwie jedynki ze sobą nie sąsiadują. Znajdź brakujące liczby 10 cyfrowe, czyli te gdzie dwie lub trzy jedynki sąsiadują ze sobą.

Nie rozumiem. Co to znaczy, że są nierozróżnialne?

PS Rozumiem rozwiązanie Kraszewskiego, ale nie rozumiem gdzie w moim rozwiązaniu jest błąd.

Dodano po 29 minutach 16 sekundach:
Ok, już wiem, że pomyliłem wariację bez powtórzeń z kombinacją bez powtórzeń, licząc na ile sposobów możemy wypełnić \(\displaystyle{ 8}\) pustych miejsc jedynkami. Będzie ich tylko \(\displaystyle{ 56}\). Teraz wychodzi mi za mało rozwiązań.

[Jan Kraszewski]

Teraz wychodzi mi za mało rozwiązań.

Za mało, bo

nie uwzględnia przypadku sąsiadowania ze sobą jedynek.

JK

[matemix]

Ok, już zrozumiałem, że metoda, którą przyjąłem jest faktycznie bez sensu. Ale już wiem jak to rozwiązać dokładnie tą metodą, którą zaproponował Jan Kraszewski. Dzięki

[kerajs]

Ok, już zrozumiałem, że metoda, którą przyjąłem jest faktycznie bez sensu.

Nie jest bez sensu. Jest tylko trochę dłuższa.
\(\displaystyle{ 2^7 \cdot {8 \choose 3}+ 2^7 \cdot {8 \choose 2} \cdot 2!+ 2^7 \cdot {8 \choose 1}=15360 }\)

[matemix]

Dlaczego te środkowe wariacje są przemnożone przez dwa?

[kerajs]

Drugi składnik to ilość liczb gdzie dokładnie dwie jedynki ze sobą sąsiadują. Współczynnik dwumianowy znajduje dwa miejsca które zajmą jedynki, jednak można to zrobić na dwa sposoby: 11 będzie po prawej stronie 1 lub 11 będzie po lewej stronie 1. Stąd 2!, czyli pomnożenie przez ilość permutacji między rozróżnialnymi układami jedynek.

[matemix]

Drugi składnik to ilość liczb gdzie dokładnie dwie jedynki ze sobą sąsiadują. Współczynnik dwumianowy znajduje dwa miejsca które zajmą jedynki, jednak można to zrobić na dwa sposoby: 11 będzie po prawej stronie 1 lub 11 będzie po lewej stronie 1. Stąd 2!, czyli pomnożenie przez ilość permutacji między rozróżnialnymi układami jedynek.

Tak podejrzewałem, tylko jedno mi się tu nie zgadzało. Wydawało mi się, że wariacja powinna wypisać wszystkie te opcje. Teraz już rozumiem, że nie. Wiele razy wyłożyłbym się na tym zadaniu. Ale tak to jest jak się nie rozwiązuje zadań na bieżąco, a na co dzień nie mam do czynienia z matematyką. Problemy wpadają niespodziewanie od czasu do czasu To też przemawia za tym, żeby używać najprostszych metod do rozwiązywania, wówczas mniej jest okazji, by popełnić błąd po drodze.