dowód sumy
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tu
- Podziękował: 42 razy
dowód sumy
Wykaż że \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}\dbinom{n}{k}^{-1} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}}\).
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: dowód sumy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ n } \frac{1}{ {n \choose k} } = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n}(n-k)!k!= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n}\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1) }\)
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma(n+2)}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}{\Gamma(n+2)} = \frac{(n+1)!}{n!} \sum_{k=1}^{n}B(k+1,n-k+1)=(n+1) \sum_{k=0}^{n}B(k+1,n-k+1) =(n+1) \sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{1}x^k(1-x)^{n-k}dx }\)
Teraz się pomęcz z tą całką dla smakoszy i powinno wyjść...
Dodano po 5 minutach 42 sekundach:
A jakbyś miał problemy wrzuć ją do działu : całki dla smakoszy...
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma(n+2)}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}{\Gamma(n+2)} = \frac{(n+1)!}{n!} \sum_{k=1}^{n}B(k+1,n-k+1)=(n+1) \sum_{k=0}^{n}B(k+1,n-k+1) =(n+1) \sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{1}x^k(1-x)^{n-k}dx }\)
Teraz się pomęcz z tą całką dla smakoszy i powinno wyjść...
Dodano po 5 minutach 42 sekundach:
A jakbyś miał problemy wrzuć ją do działu : całki dla smakoszy...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: dowód sumy
Ja nic nie sugeruję niech obliczy i zobaczy się co wyjdzie...
Dodano po 8 minutach 49 sekundach:
tylko drobna uwaga niech najpierw zrobi tak:
\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1} \left[ \sum_{k=0}^{n}x^k(1-x)^{n-k}\right] dx=(n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \left[ \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{(1-x)^k} \right]dx }\)
Jak sobie najpierw nie zsumuje otrzyma lewą stronę ...(sprawdziłem że otrzyma lewą bez wcześniejszego zsumowania)
Dodano po 2 minutach 16 sekundach:
Funkcje Beta działają w obie strony , tak czy siak wyjdzie całka dla smakoszy ...
Dodano po 8 minutach 49 sekundach:
tylko drobna uwaga niech najpierw zrobi tak:
\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1} \left[ \sum_{k=0}^{n}x^k(1-x)^{n-k}\right] dx=(n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \left[ \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{(1-x)^k} \right]dx }\)
Jak sobie najpierw nie zsumuje otrzyma lewą stronę ...(sprawdziłem że otrzyma lewą bez wcześniejszego zsumowania)
Dodano po 2 minutach 16 sekundach:
Funkcje Beta działają w obie strony , tak czy siak wyjdzie całka dla smakoszy ...
Ostatnio zmieniony 22 maja 2020, o 14:52 przez arek1357, łącznie zmieniany 1 raz.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: dowód sumy
co ci znowu nie ma?
Dodano po 1 minucie 5 sekundach:
Obliczysz sumę, obliczysz całkę i wyjdzie ...
Wróć se do sum cionguf geometrycznych i se to ssumój...
I za dużo nie filozofuj...
Dodano po 1 minucie 5 sekundach:
Obliczysz sumę, obliczysz całkę i wyjdzie ...
Wróć se do sum cionguf geometrycznych i se to ssumój...
I za dużo nie filozofuj...
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: dowód sumy
Też nie widzę, jak z tego ma wyjść rozwiązanie zadania. Mój pomysł był taki, żeby znaleźć rekurencję, którą spełnia jedna i druga suma traktowana jako ciąg zależny od \(\displaystyle{ n}\) i wykazać, że początkowe wyrazy się zgadzają. No nie jest to zbyt błyskotliwe, ale raczej działa.
Zaczniemy od takiej tożsamości, która wyszła w 2016 podczas rozwiązywania pewnego zadania (jej dowód jest bardzo prosty, wystarczy sprowadzić do wspólnego mianownika i wykonać elementarne przekształcenia):
\(\displaystyle{ \frac{1}{{n\choose k}}=\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{{n+1\choose k}}+\frac{1}{{n+1\choose k+1}}\right)}\)
Jeżeli to zsumujemy dla \(\displaystyle{ k=0,1\ldots n}\), to otrzymamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n\choose k}}=\frac{n+1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n+1\choose k}}+\frac{n+1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n+1\choose k+1}}}\)
Jeżeli teraz oznaczymy
\(\displaystyle{ a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n\choose k}}}\), to dostaliśmy
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2n+2}{n+2}\left(a_{n+1}-1\right)}\) tj.
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+2}{2n+2}a_{n}+1}\)
Ponadto \(\displaystyle{ a_{1}=2}\).
Niechaj teraz \(\displaystyle{ b_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}}\)
Łatwo sprawdzić, że również \(\displaystyle{ b_{1}=2}\), będziemy teraz dążyć do wykazania, że
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{n+2}{2n+2}b_{n}+1}\)
To nie jest trudne:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+2}}\sum_{k=0}^{n+1}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2^{n+2}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2n+2}\cdot \frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2n+2}b_{n}}\)
To kończy dowód.
Zaczniemy od takiej tożsamości, która wyszła w 2016 podczas rozwiązywania pewnego zadania (jej dowód jest bardzo prosty, wystarczy sprowadzić do wspólnego mianownika i wykonać elementarne przekształcenia):
\(\displaystyle{ \frac{1}{{n\choose k}}=\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{{n+1\choose k}}+\frac{1}{{n+1\choose k+1}}\right)}\)
Jeżeli to zsumujemy dla \(\displaystyle{ k=0,1\ldots n}\), to otrzymamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n\choose k}}=\frac{n+1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n+1\choose k}}+\frac{n+1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n+1\choose k+1}}}\)
Jeżeli teraz oznaczymy
\(\displaystyle{ a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n\choose k}}}\), to dostaliśmy
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2n+2}{n+2}\left(a_{n+1}-1\right)}\) tj.
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+2}{2n+2}a_{n}+1}\)
Ponadto \(\displaystyle{ a_{1}=2}\).
Niechaj teraz \(\displaystyle{ b_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}}\)
Łatwo sprawdzić, że również \(\displaystyle{ b_{1}=2}\), będziemy teraz dążyć do wykazania, że
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{n+2}{2n+2}b_{n}+1}\)
To nie jest trudne:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+2}}\sum_{k=0}^{n+1}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2^{n+2}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2n+2}\cdot \frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2n+2}b_{n}}\)
To kończy dowód.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: dowód sumy
Jasne, że pokażę nie miałem czasu ostatnio ale upieracie się że nie mam racji, pokażę ale w telegraficznym skrócie...
Z tej całki dla smakoszy wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n}\left[ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... \right]}\) - kończy się nieparzyście...
Wystarczy udowodnić np. indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ Z: \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^n}{n+1} }\)
Teza będzie:
\(\displaystyle{ T: \frac{1}{1} {n+2 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+2 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+2 \choose 5} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^{n+1}}{n+2} }\)
najpierw rozpisujemy z:
\(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1} = {n \choose k} + {n \choose k+1} }\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... + \frac{1}{1} {n+1 \choose 0}+ \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^n}{n+1}+ \frac{1}{1} {n+1\choose 0} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...}\)
Teraz skorzystamy z ogólnie znanego wzoru:
\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} {n \choose k} = \frac{1}{n+1} {n+1 \choose k+1} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {n+1 \choose 0}+ \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...= \frac{1}{n+2} \left[ {n+2 \choose 1}+{n+2 \choose 3}+{n+2 \choose 3}+... \right]=\frac{1}{n+2} \frac{2^{n+2}}{2}= \frac{2^{n+1}}{n+2} }\)
reasumując mamy tezę:
Oczywiście indukcja jest w tym przypadku sporo łatwiejsza po wyliczeniu całki, niż na samym początku, całka tylko ułatwiła bardzo podejście do sprawy, i jako ćwiczenie proponuję tę całke policzyć jakby kto nie wierzył, pozdrawiam...
Nadmienię tylko, że wzór który wyszedł z całki i to co miało wyjść z zadania to dwa bliźniacze wzory...dwie strony monety awers i rewers...
Następnym razem proszę o ciut więcej wiary...
Z tej całki dla smakoszy wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n}\left[ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... \right]}\) - kończy się nieparzyście...
Wystarczy udowodnić np. indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ Z: \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^n}{n+1} }\)
Teza będzie:
\(\displaystyle{ T: \frac{1}{1} {n+2 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+2 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+2 \choose 5} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^{n+1}}{n+2} }\)
najpierw rozpisujemy z:
\(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1} = {n \choose k} + {n \choose k+1} }\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... + \frac{1}{1} {n+1 \choose 0}+ \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^n}{n+1}+ \frac{1}{1} {n+1\choose 0} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...}\)
Teraz skorzystamy z ogólnie znanego wzoru:
\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} {n \choose k} = \frac{1}{n+1} {n+1 \choose k+1} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {n+1 \choose 0}+ \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...= \frac{1}{n+2} \left[ {n+2 \choose 1}+{n+2 \choose 3}+{n+2 \choose 3}+... \right]=\frac{1}{n+2} \frac{2^{n+2}}{2}= \frac{2^{n+1}}{n+2} }\)
reasumując mamy tezę:
Oczywiście indukcja jest w tym przypadku sporo łatwiejsza po wyliczeniu całki, niż na samym początku, całka tylko ułatwiła bardzo podejście do sprawy, i jako ćwiczenie proponuję tę całke policzyć jakby kto nie wierzył, pozdrawiam...
Nadmienię tylko, że wzór który wyszedł z całki i to co miało wyjść z zadania to dwa bliźniacze wzory...dwie strony monety awers i rewers...
Następnym razem proszę o ciut więcej wiary...
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: dowód sumy
No to jeszcze pokaż jak z z sumy `n` wyrazów powstaje suma `n/2` (mniej więcej) wyrazówarek1357 pisze: ↑24 maja 2020, o 16:31 Jasne, że pokażę nie miałem czasu ostatnio ale upieracie się że nie mam racji, pokażę ale w telegraficznym skrócie...
Z tej całki dla smakoszy wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n}\left[ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... \right]}\) - kończy się nieparzyście...
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: dowód sumy
Tutajarek1357 pisze: ↑24 maja 2020, o 16:31 Jasne, że pokażę nie miałem czasu ostatnio ale upieracie się że nie mam racji, pokażę ale w telegraficznym skrócie...
Z tej całki dla smakoszy wyjdzie:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n}\left[ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... \right]}\) - kończy się nieparzyście...
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: dowód sumy
Dla:
\(\displaystyle{ n=1}\)
moja suma:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {2 \choose 1} =2}\)
Prawa strona:
\(\displaystyle{ 1+ \frac{2^1}{2} =2}\)
dla: \(\displaystyle{ n=2}\)
lewa i prawa strona strona:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {3 \choose 1} +\frac{1}{3} {3 \choose 3} =3+ \frac{1}{3}=1+1+ \frac{2^2}{3} = \frac{10}{3} }\)
dla: \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {4 \choose 1} +\frac{1}{3} {4 \choose 3} =4+ \frac{4}{3}=1+1+ \frac{2^2}{3}+\frac{2^3}{4} = \frac{10}{3} }\)
co zasugerowało krok indukcyjny...
Co jeszcze?
\(\displaystyle{ n=1}\)
moja suma:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {2 \choose 1} =2}\)
Prawa strona:
\(\displaystyle{ 1+ \frac{2^1}{2} =2}\)
dla: \(\displaystyle{ n=2}\)
lewa i prawa strona strona:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {3 \choose 1} +\frac{1}{3} {3 \choose 3} =3+ \frac{1}{3}=1+1+ \frac{2^2}{3} = \frac{10}{3} }\)
dla: \(\displaystyle{ n=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {4 \choose 1} +\frac{1}{3} {4 \choose 3} =4+ \frac{4}{3}=1+1+ \frac{2^2}{3}+\frac{2^3}{4} = \frac{10}{3} }\)
co zasugerowało krok indukcyjny...
Co jeszcze?
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: dowód sumy
Chcę tylko wiedzieć jak z tej twojej "całki dla smakoszy" (nie wiem której, bo tym mianem okresliłęś parę rzeczy w tym wątku) wyprodukowałeś tę sumę po lewej stronie.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: dowód sumy
aha to teraz już wiem o c ci biega mogłeś sobie ją policzyć stąd ta suma ale postaram się policzyć i ją wrzucę, jakbędę miał ciut więcej czasu na razie zdyszany przybiegłem z majówki, ale ok całkę wrzucę masz jak najbardziej rację że powinienem ją wrzucić , choć nie czułem takiej potrzeby ponieważ tu nie miejsce na całki ale ok...
Dodano po 6 godzinach 3 minutach 59 sekundach:
Dobra zacznijmy od ostatniej całki dla smakoszy:
\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{(1-x)^k}dx=(n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \frac{1- \frac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+1}} }{1- \frac{x}{1-x} } dx =}\)
po skróceniu i uproszczeniu czym nie będę już katował otrzymamy:
\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}-(1-x)^{n+1}}{2x-1}dx }\)
podstawmy:
\(\displaystyle{ t=2x-1 , dx= \frac{1}{2} dt , 0 \rightarrow -1 , 1 \rightarrow 1 }\)
mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (n+1) \int_{-1}^{1} \frac{\left( \frac{1+t}{2}\right)^{n+1}-\left( \frac{1-t}{2}\right)^{n+1} }{t}dt= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{n+1}{2^{n+2}} \int_{-1}^{1} \frac{(1+t)^{n+1}-(1-t)^{n+1}}{t}dt = }\)
To co w nawiasie po pomnożeniu przez : \(\displaystyle{ \frac{1}{t} }\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=0}^{ \frac{n}{2} } {n+1 \choose 2k+1} t^{2k}}\)
Czyli całka:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^{n+1}} \int_{-1}^{1}\sum_{k=0}^{ \frac{n}{2}} {n+1 \choose 2k+1} t^{2k}dt= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{n+1}{2^n} \sum_{k=0}^{ \frac{n}{2} } {n+1 \choose 2k+1} \frac{1}{2k+1} }\)
Czyli dokładnie to co potem wykazywałem indukcyjnie, że jest to to samo co suma w zadaniu, i dlatego ilość elementów sumowania drastycznie się
zmiejszyła do: \(\displaystyle{ \frac{n}{2} }\)
Szkoda tylko, że każdy twierdził, że całka ta dla smakoszy nie prowadzi do rozwiązania zadania, otóż prowadzi , naprowadziło mnie to, jak zobaczyłem czynnik przed całką i sumą:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n} }\) to mnie naprowadziło do tego, że to co w nawiasie siłą rzeczy musi być równe sumie z zadania...
Jedynie co na początku myślałem, że najpierw musimy całkować a potem sumować co by dało niewiele, więc najpierw trzeba było zsumować a potem całkować...
Założeniem moim nie było rozwiązać tego zadania tylko zmusić do myślenia twórcy postu aby po naprowadzeniu go na funkcje Gamma i Beta sam rozwiązał, niestety
a4Karo niepotrzebnie się wtrącił, wszyscy na mnie że rozwiązania nie widzą więc oczywiście Klimat musiał tak samo pomyśleć i nie daliście mu
samemu rozwiązać, zamiast Klimata zadanie rozwiązał Premislav sposobem przypominającym wiercenie tunelu w górze, ja natomiast proponowałem spacer po szczytach...i zwiedzanie terenu, lecz nie każdy jest turystą, no trudno...
Dodano po 6 godzinach 3 minutach 59 sekundach:
Dobra zacznijmy od ostatniej całki dla smakoszy:
\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{(1-x)^k}dx=(n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \frac{1- \frac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+1}} }{1- \frac{x}{1-x} } dx =}\)
po skróceniu i uproszczeniu czym nie będę już katował otrzymamy:
\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}-(1-x)^{n+1}}{2x-1}dx }\)
podstawmy:
\(\displaystyle{ t=2x-1 , dx= \frac{1}{2} dt , 0 \rightarrow -1 , 1 \rightarrow 1 }\)
mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (n+1) \int_{-1}^{1} \frac{\left( \frac{1+t}{2}\right)^{n+1}-\left( \frac{1-t}{2}\right)^{n+1} }{t}dt= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{n+1}{2^{n+2}} \int_{-1}^{1} \frac{(1+t)^{n+1}-(1-t)^{n+1}}{t}dt = }\)
To co w nawiasie po pomnożeniu przez : \(\displaystyle{ \frac{1}{t} }\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=0}^{ \frac{n}{2} } {n+1 \choose 2k+1} t^{2k}}\)
Czyli całka:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^{n+1}} \int_{-1}^{1}\sum_{k=0}^{ \frac{n}{2}} {n+1 \choose 2k+1} t^{2k}dt= }\)
\(\displaystyle{ = \frac{n+1}{2^n} \sum_{k=0}^{ \frac{n}{2} } {n+1 \choose 2k+1} \frac{1}{2k+1} }\)
Czyli dokładnie to co potem wykazywałem indukcyjnie, że jest to to samo co suma w zadaniu, i dlatego ilość elementów sumowania drastycznie się
zmiejszyła do: \(\displaystyle{ \frac{n}{2} }\)
Szkoda tylko, że każdy twierdził, że całka ta dla smakoszy nie prowadzi do rozwiązania zadania, otóż prowadzi , naprowadziło mnie to, jak zobaczyłem czynnik przed całką i sumą:
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n} }\) to mnie naprowadziło do tego, że to co w nawiasie siłą rzeczy musi być równe sumie z zadania...
Jedynie co na początku myślałem, że najpierw musimy całkować a potem sumować co by dało niewiele, więc najpierw trzeba było zsumować a potem całkować...
Założeniem moim nie było rozwiązać tego zadania tylko zmusić do myślenia twórcy postu aby po naprowadzeniu go na funkcje Gamma i Beta sam rozwiązał, niestety
a4Karo niepotrzebnie się wtrącił, wszyscy na mnie że rozwiązania nie widzą więc oczywiście Klimat musiał tak samo pomyśleć i nie daliście mu
samemu rozwiązać, zamiast Klimata zadanie rozwiązał Premislav sposobem przypominającym wiercenie tunelu w górze, ja natomiast proponowałem spacer po szczytach...i zwiedzanie terenu, lecz nie każdy jest turystą, no trudno...