dowód sumy

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
klimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 59
Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tu
Podziękował: 27 razy

dowód sumy

Post autor: klimat » 21 maja 2020, o 16:53

Wykaż że \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}\dbinom{n}{k}^{-1} = \frac{n+1}{2^{n+1}} \sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}}\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: dowód sumy

Post autor: arek1357 » 22 maja 2020, o 13:56

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{ n } \frac{1}{ {n \choose k} } = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n}(n-k)!k!= \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n}\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1) }\)

\(\displaystyle{ \frac{\Gamma(n+2)}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}{\Gamma(n+2)} = \frac{(n+1)!}{n!} \sum_{k=1}^{n}B(k+1,n-k+1)=(n+1) \sum_{k=0}^{n}B(k+1,n-k+1) =(n+1) \sum_{k=0}^{n} \int_{0}^{1}x^k(1-x)^{n-k}dx }\)

Teraz się pomęcz z tą całką dla smakoszy i powinno wyjść...

Dodano po 5 minutach 42 sekundach:
A jakbyś miał problemy wrzuć ją do działu : całki dla smakoszy...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: dowód sumy

Post autor: a4karo » 22 maja 2020, o 14:16

Czyżbyś sugerował, że `\int_0^1 x^k(1-x)^{n-k}dx=\frac{1}{2^{n+1}}\frac{2^{k+1}}{k+1}`? :cry:

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: dowód sumy

Post autor: arek1357 » 22 maja 2020, o 14:36

Ja nic nie sugeruję niech obliczy i zobaczy się co wyjdzie...

Dodano po 8 minutach 49 sekundach:
tylko drobna uwaga niech najpierw zrobi tak:

\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1} \left[ \sum_{k=0}^{n}x^k(1-x)^{n-k}\right] dx=(n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \left[ \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{(1-x)^k} \right]dx }\)

Jak sobie najpierw nie zsumuje otrzyma lewą stronę ...(sprawdziłem że otrzyma lewą bez wcześniejszego zsumowania)

Dodano po 2 minutach 16 sekundach:
Funkcje Beta działają w obie strony , tak czy siak wyjdzie całka dla smakoszy ...
Ostatnio zmieniony 22 maja 2020, o 14:52 przez arek1357, łącznie zmieniany 1 raz.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: dowód sumy

Post autor: a4karo » 22 maja 2020, o 14:49

Która nie ma nic wspólnego z rozwiązaniem zadania

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: dowód sumy

Post autor: arek1357 » 22 maja 2020, o 14:53

co ci znowu nie ma?

Dodano po 1 minucie 5 sekundach:
Obliczysz sumę, obliczysz całkę i wyjdzie ...

Wróć se do sum cionguf geometrycznych i se to ssumój...
I za dużo nie filozofuj...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: dowód sumy

Post autor: a4karo » 22 maja 2020, o 16:00

To może pokaż, że wyjdzie. Bo na razie tylko obiecujesz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14856
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 120 razy
Pomógł: 4920 razy

Re: dowód sumy

Post autor: Premislav » 22 maja 2020, o 20:29

Też nie widzę, jak z tego ma wyjść rozwiązanie zadania. Mój pomysł był taki, żeby znaleźć rekurencję, którą spełnia jedna i druga suma traktowana jako ciąg zależny od \(\displaystyle{ n}\) i wykazać, że początkowe wyrazy się zgadzają. No nie jest to zbyt błyskotliwe, ale raczej działa.

Zaczniemy od takiej tożsamości, która wyszła w 2016 podczas rozwiązywania pewnego zadania (jej dowód jest bardzo prosty, wystarczy sprowadzić do wspólnego mianownika i wykonać elementarne przekształcenia):
\(\displaystyle{ \frac{1}{{n\choose k}}=\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{{n+1\choose k}}+\frac{1}{{n+1\choose k+1}}\right)}\)
Jeżeli to zsumujemy dla \(\displaystyle{ k=0,1\ldots n}\), to otrzymamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n\choose k}}=\frac{n+1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n+1\choose k}}+\frac{n+1}{n+2}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n+1\choose k+1}}}\)
Jeżeli teraz oznaczymy
\(\displaystyle{ a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{{n\choose k}}}\), to dostaliśmy
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2n+2}{n+2}\left(a_{n+1}-1\right)}\) tj.
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{n+2}{2n+2}a_{n}+1}\)
Ponadto \(\displaystyle{ a_{1}=2}\).

Niechaj teraz \(\displaystyle{ b_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}}\)
Łatwo sprawdzić, że również \(\displaystyle{ b_{1}=2}\), będziemy teraz dążyć do wykazania, że
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{n+2}{2n+2}b_{n}+1}\)
To nie jest trudne:
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{n+2}{2^{n+2}}\sum_{k=0}^{n+1}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2^{n+2}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2n+2}\cdot \frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^{k+1}}{k+1}\\=1+\frac{n+2}{2n+2}b_{n}}\)


To kończy dowód.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: dowód sumy

Post autor: arek1357 » 24 maja 2020, o 16:24

Jasne, że pokażę nie miałem czasu ostatnio ale upieracie się że nie mam racji, pokażę ale w telegraficznym skrócie...



Z tej całki dla smakoszy wyjdzie:

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n}\left[ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... \right]}\) - kończy się nieparzyście...

Wystarczy udowodnić np. indukcyjnie, że:


\(\displaystyle{ Z: \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^n}{n+1} }\)

Teza będzie:


\(\displaystyle{ T: \frac{1}{1} {n+2 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+2 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+2 \choose 5} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^{n+1}}{n+2} }\)


najpierw rozpisujemy z:

\(\displaystyle{ {n+1 \choose k+1} = {n \choose k} + {n \choose k+1} }\)

Otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... + \frac{1}{1} {n+1 \choose 0}+ \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...=1+ \frac{2^1}{2}+ \frac{2^2}{3}+...+ \frac{2^n}{n+1}+ \frac{1}{1} {n+1\choose 0} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...}\)

Teraz skorzystamy z ogólnie znanego wzoru:

\(\displaystyle{ \frac{1}{k+1} {n \choose k} = \frac{1}{n+1} {n+1 \choose k+1} }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {n+1 \choose 0}+ \frac{1}{3} {n+1 \choose 2}+ \frac{1}{5} {n+1 \choose 4} +...= \frac{1}{n+2} \left[ {n+2 \choose 1}+{n+2 \choose 3}+{n+2 \choose 3}+... \right]=\frac{1}{n+2} \frac{2^{n+2}}{2}= \frac{2^{n+1}}{n+2} }\)

reasumując mamy tezę:

Oczywiście indukcja jest w tym przypadku sporo łatwiejsza po wyliczeniu całki, niż na samym początku, całka tylko ułatwiła bardzo podejście do sprawy, i jako ćwiczenie proponuję tę całke policzyć jakby kto nie wierzył, pozdrawiam...

Nadmienię tylko, że wzór który wyszedł z całki i to co miało wyjść z zadania to dwa bliźniacze wzory...dwie strony monety awers i rewers...

Następnym razem proszę o ciut więcej wiary...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: dowód sumy

Post autor: a4karo » 24 maja 2020, o 16:52

arek1357 pisze:
24 maja 2020, o 16:31
Jasne, że pokażę nie miałem czasu ostatnio ale upieracie się że nie mam racji, pokażę ale w telegraficznym skrócie...



Z tej całki dla smakoszy wyjdzie:

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n}\left[ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... \right]}\) - kończy się nieparzyście...

No to jeszcze pokaż jak z z sumy `n` wyrazów powstaje suma `n/2` (mniej więcej) wyrazów

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: dowód sumy

Post autor: arek1357 » 24 maja 2020, o 18:50

W którym miejscu?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: dowód sumy

Post autor: a4karo » 24 maja 2020, o 18:53

arek1357 pisze:
24 maja 2020, o 16:31
Jasne, że pokażę nie miałem czasu ostatnio ale upieracie się że nie mam racji, pokażę ale w telegraficznym skrócie...



Z tej całki dla smakoszy wyjdzie:

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n}\left[ \frac{1}{1} {n+1 \choose 1} + \frac{1}{3} {n+1 \choose 3}+\frac{1}{5} {n+1 \choose 5} +... \right]}\) - kończy się nieparzyście...

Tutaj

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: dowód sumy

Post autor: arek1357 » 24 maja 2020, o 19:03

Dla:

\(\displaystyle{ n=1}\)

moja suma:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {2 \choose 1} =2}\)

Prawa strona:

\(\displaystyle{ 1+ \frac{2^1}{2} =2}\)

dla: \(\displaystyle{ n=2}\)

lewa i prawa strona strona:

\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {3 \choose 1} +\frac{1}{3} {3 \choose 3} =3+ \frac{1}{3}=1+1+ \frac{2^2}{3} = \frac{10}{3} }\)

dla: \(\displaystyle{ n=3}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{1} {4 \choose 1} +\frac{1}{3} {4 \choose 3} =4+ \frac{4}{3}=1+1+ \frac{2^2}{3}+\frac{2^3}{4} = \frac{10}{3} }\)

co zasugerowało krok indukcyjny...

Co jeszcze?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: dowód sumy

Post autor: a4karo » 24 maja 2020, o 19:17

Chcę tylko wiedzieć jak z tej twojej "całki dla smakoszy" (nie wiem której, bo tym mianem okresliłęś parę rzeczy w tym wątku) wyprodukowałeś tę sumę po lewej stronie.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: dowód sumy

Post autor: arek1357 » 24 maja 2020, o 19:22

aha to teraz już wiem o c ci biega mogłeś sobie ją policzyć stąd ta suma ale postaram się policzyć i ją wrzucę, jakbędę miał ciut więcej czasu na razie zdyszany przybiegłem z majówki, ale ok całkę wrzucę masz jak najbardziej rację że powinienem ją wrzucić , choć nie czułem takiej potrzeby ponieważ tu nie miejsce na całki ale ok...

Dodano po 6 godzinach 3 minutach 59 sekundach:
Dobra zacznijmy od ostatniej całki dla smakoszy:


\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{(1-x)^k}dx=(n+1) \int_{0}^{1}(1-x)^n \frac{1- \frac{x^{n+1}}{(1-x)^{n+1}} }{1- \frac{x}{1-x} } dx =}\)

po skróceniu i uproszczeniu czym nie będę już katował otrzymamy:

\(\displaystyle{ (n+1) \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}-(1-x)^{n+1}}{2x-1}dx }\)

podstawmy:

\(\displaystyle{ t=2x-1 , dx= \frac{1}{2} dt , 0 \rightarrow -1 , 1 \rightarrow 1 }\)

mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} (n+1) \int_{-1}^{1} \frac{\left( \frac{1+t}{2}\right)^{n+1}-\left( \frac{1-t}{2}\right)^{n+1} }{t}dt= }\)

\(\displaystyle{ = \frac{n+1}{2^{n+2}} \int_{-1}^{1} \frac{(1+t)^{n+1}-(1-t)^{n+1}}{t}dt = }\)

To co w nawiasie po pomnożeniu przez : \(\displaystyle{ \frac{1}{t} }\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=0}^{ \frac{n}{2} } {n+1 \choose 2k+1} t^{2k}}\)

Czyli całka:

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^{n+1}} \int_{-1}^{1}\sum_{k=0}^{ \frac{n}{2}} {n+1 \choose 2k+1} t^{2k}dt= }\)

\(\displaystyle{ = \frac{n+1}{2^n} \sum_{k=0}^{ \frac{n}{2} } {n+1 \choose 2k+1} \frac{1}{2k+1} }\)

Czyli dokładnie to co potem wykazywałem indukcyjnie, że jest to to samo co suma w zadaniu, i dlatego ilość elementów sumowania drastycznie się
zmiejszyła do: \(\displaystyle{ \frac{n}{2} }\)

Szkoda tylko, że każdy twierdził, że całka ta dla smakoszy nie prowadzi do rozwiązania zadania, otóż prowadzi , naprowadziło mnie to, jak zobaczyłem czynnik przed całką i sumą:

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2^n} }\) to mnie naprowadziło do tego, że to co w nawiasie siłą rzeczy musi być równe sumie z zadania...

Jedynie co na początku myślałem, że najpierw musimy całkować a potem sumować co by dało niewiele, więc najpierw trzeba było zsumować a potem całkować...

Założeniem moim nie było rozwiązać tego zadania tylko zmusić do myślenia twórcy postu aby po naprowadzeniu go na funkcje Gamma i Beta sam rozwiązał, niestety
a4Karo niepotrzebnie się wtrącił, wszyscy na mnie że rozwiązania nie widzą więc oczywiście Klimat musiał tak samo pomyśleć i nie daliście mu
samemu rozwiązać, zamiast Klimata zadanie rozwiązał Premislav sposobem przypominającym wiercenie tunelu w górze, ja natomiast proponowałem spacer po szczytach...i zwiedzanie terenu, lecz nie każdy jest turystą, no trudno...

ODPOWIEDZ