Permutacje i cykle
: 16 maja 2020, o 19:44
Hej, mam takie oto zadania:
2. Dowolny cykl \(\displaystyle{ (k _{1}k_{2}...k_{m})}\) można przedstawić jako iloczyn transpozycji
\(\displaystyle{ (k_{1}k_{m}) (k_{1}k_{m-1})... (k_{1}k_{2})}\). Udowodnij to indukcyjnie.
3. Dla każdej wartości \(\displaystyle{ m = 1,2,3,4,5,6 }\) znajdź permutację należąca do \(\displaystyle{ S_{6}}\) mającą rząd \(\displaystyle{ m}\). Jeśli to możliwe – unikaj cykli!
4. a) Podaj przykład permutacji z \(\displaystyle{ S_{5}}\) mającej rząd \(\displaystyle{ 6}\).
b) Podaj przykłady permutacji z \(\displaystyle{ S_{7}}\) o rzędach \(\displaystyle{ 10}\) i \(\displaystyle{ 12}\).
Niestety, udało mi się rozwiązać to.
3. Tak to sobie wymyśliłem
a) \(\displaystyle{ m=1}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 1 2 3 4 5 6} = (1)(2)(3)(4)(5)(6) }\)
b) \(\displaystyle{ m=2}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 6 4 5 2 3 1} = (16)(24)(35) }\)
c) \(\displaystyle{ m=3}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 3 4 5 6 1 2} = (135)(246) }\)
d) \(\displaystyle{ m=4}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 6 5 4 1 2 3} = (1634)(25) }\)
e) \(\displaystyle{ m=5}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 1 5 4 2 6 3} = (25634)(1) }\)
f) \(\displaystyle{ m=6}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 5 1 6 2 3 4} = (25634) }\)
Czy 3 zadanie mam dobrze? Pomożecie z resztą?
2. Dowolny cykl \(\displaystyle{ (k _{1}k_{2}...k_{m})}\) można przedstawić jako iloczyn transpozycji
\(\displaystyle{ (k_{1}k_{m}) (k_{1}k_{m-1})... (k_{1}k_{2})}\). Udowodnij to indukcyjnie.
3. Dla każdej wartości \(\displaystyle{ m = 1,2,3,4,5,6 }\) znajdź permutację należąca do \(\displaystyle{ S_{6}}\) mającą rząd \(\displaystyle{ m}\). Jeśli to możliwe – unikaj cykli!
4. a) Podaj przykład permutacji z \(\displaystyle{ S_{5}}\) mającej rząd \(\displaystyle{ 6}\).
b) Podaj przykłady permutacji z \(\displaystyle{ S_{7}}\) o rzędach \(\displaystyle{ 10}\) i \(\displaystyle{ 12}\).
Niestety, udało mi się rozwiązać to.
3. Tak to sobie wymyśliłem
a) \(\displaystyle{ m=1}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 1 2 3 4 5 6} = (1)(2)(3)(4)(5)(6) }\)
b) \(\displaystyle{ m=2}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 6 4 5 2 3 1} = (16)(24)(35) }\)
c) \(\displaystyle{ m=3}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 3 4 5 6 1 2} = (135)(246) }\)
d) \(\displaystyle{ m=4}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 6 5 4 1 2 3} = (1634)(25) }\)
e) \(\displaystyle{ m=5}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 1 5 4 2 6 3} = (25634)(1) }\)
f) \(\displaystyle{ m=6}\), np. \(\displaystyle{ {1 2 3 4 5 6 \choose 5 1 6 2 3 4} = (25634) }\)
Czy 3 zadanie mam dobrze? Pomożecie z resztą?