Układanie rekurencji

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 4 razy

Układanie rekurencji

Post autor: Iza8723 » 3 maja 2020, o 13:51

Niech \(\displaystyle{ a_{n} }\) oznacza liczbę \(\displaystyle{ n}\)-literowych słów nad alfabetem \(\displaystyle{ 26}\)-literowym, takich że
łączna liczba wystapień liter \(\displaystyle{ A,E,I,O,U }\) jest parzysta. Ułóż zależność rekurencyjną dla ciągu \(\displaystyle{ a _{n} }\).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: Układanie rekurencji

Post autor: a4karo » 3 maja 2020, o 13:54

Wsk: rozpatrz równolegle ciąg `b_n` ilości słów o nieparzystej ilości tych liter

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7585
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 226 razy
Pomógł: 2997 razy

Re: Układanie rekurencji

Post autor: kerajs » 4 maja 2020, o 22:20

Autorka pewnie już rozwiązała, skoro wczoraj widziała podpowiedź i nie miała pytań, więc zamieszczę rozwiązanie.

Narzuca się odpowiedź bez rekurencji :
\(\displaystyle{ a_n= \sum_{i=0}^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor} {n \choose 2i} 5^{2i}21^{n-2i} }\)

Podpowiedź A4karo sugeruje układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_n=21a_{n-1} +5b_{n-1} \\ b_{n} =5a_{n-1} +21b_{n-1} \end{cases} }\)
który można sprowadzić do równania:
\(\displaystyle{ a_{n+1}-42a_{n-1} +416a_{n-1} =0 }\)
które dla \(\displaystyle{ a_1=21 \wedge a_2=466}\) ma rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{2}(16^n+26^n) }\)

Dodano po 22 godzinach 28 minutach 16 sekundach:
Errata:
Zamiast:
kerajs pisze:
4 maja 2020, o 22:20
\(\displaystyle{ a_{n+1}-42a_{n-1} +416a_{n-1} =0 }\)
powinno być:
\(\displaystyle{ a_{n+1}-42a_{n} +416a_{n-1} =0 }\)

ODPOWIEDZ