Kule w pudełkach

[mol_ksiazkowy]

Na ile różnych sposobów można umieścić 10 kul w 30 pudełkach, jeśli w każdym z nich ma być od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 5}\) kul ?

[pesel]

Na zero sposobów.

[Janusz Tracz]

A ogólnie: Na ile różnych sposobów można umieścić \(\displaystyle{ n}\) kul w \(\displaystyle{ k}\) pudełkach, jeśli w każdym z nich ma być od \(\displaystyle{ 2}\) do \(\displaystyle{ 5}\) kul ? To będzie chyba wyraz przy \(\displaystyle{ n}\)-tej potędze wielomianu \(\displaystyle{ \left( x^2+x^3+x^4+x^5\right)^{k} }\) co czasem oznacza się:

\(\displaystyle{ \text{liczba rozmieszczeń}(n,k)=\left[ n\right]\left( x^2+x^3+x^4+x^5\right)^{k} = \left[ n\right] \sum_{k_2+k_3+k_4+k_5=k} {n \choose k_2,k_3,k_4,k_5}x^{2k_2+3k_3+4k_4+5k_5} }\)

[arek1357]

Czemu przy n tej potędze?

[Janusz Tracz]

Bo myślę o takim rozmieszczenie \(\displaystyle{ n}\) kul w pudełkach \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_k}\) jak o rozwiązaniach równania:

\(\displaystyle{ p_1+p_2+...+p_k=n}\)

w liczbach \(\displaystyle{ p_i\in \left\{ 2,3,4,5\right\} }\).