"Spacer po kracie" prostopadłościanu

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Ursus_50
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 lut 2020, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

"Spacer po kracie" prostopadłościanu

Post autor: Ursus_50 » 1 maja 2020, o 16:20

Hej, mam problem z kombinatoryką, mianowicie aby obliczyć ilość najkrótszych dróg po kracie między dwoma przekątnymi wierzchołkami, należy użyć wzoru \(\displaystyle{ {k+w \choose k} }\), gdzie k to liczba kolumn, a w to liczba wierszy.
Jak wygląda schemat działania w przypadku wyliczenia ilości najkrótszych dróg, między dwoma przekątnymi wierzchołkami prostopadłościanu?

Dzięki z góry za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3962
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 386 razy

Re: "Spacer po kracie" prostopadłościanu

Post autor: arek1357 » 1 maja 2020, o 17:05

Jeżeli dopuszczasz spacery po przekrojach kratowych od punktu:

\(\displaystyle{ (a,x_{1},y_{1}) \rightarrow (a,x_{2},y_{2})}\) musisz najpier policzyć ilość właśnie tychże dróg, a potem wyskakujesz o poziom wyżej...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: "Spacer po kracie" prostopadłościanu

Post autor: a4karo » 1 maja 2020, o 17:25

Musisz wykonać `x+y+z` kroków, przy czym `x` kroków w prawo, `y` w górę i resztę przed siebie. Na ile sposobów możesz to zrobić?

Ursus_50
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 lut 2020, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: "Spacer po kracie" prostopadłościanu

Post autor: Ursus_50 » 1 maja 2020, o 18:20

Czyli: \(\displaystyle{ {x+y+z \choose x}\cdot {y+z \choose y} }\), pierwszy człon odpowiada za ilość możliwych przejść w osi \(\displaystyle{ X}\), a drugi za ilość możliwych przejść w osi \(\displaystyle{ Y}\). Dzięki.
Ostatnio zmieniony 1 maja 2020, o 18:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

ODPOWIEDZ