Interpretacja kombinatoryczna szeregów potęgowych

[Nuna]

Niech \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\left( 1-x\right)^{n} } }\). Wtedy, po rozwinięciu w szereg potęgowy mamy \(\displaystyle{ f(x) = 1 + 3x+6x^{2}+10x^{3}+15x^{4}+21x^{5}+...}\). Myślę, że jako interpretacje kombinatoryczną można tu podać, że kolejene współczynniki stojące przy \(\displaystyle{ x^{n}}\) to wartości \(\displaystyle{ -{-3 \choose n} }\).

Jest też druga funkcja \(\displaystyle{ g(x) = \frac{x^{2}}{\left( 1-x\right) ^{3}} }\). Łatwo z poprzednim podpunktem ją rozwinąć w szereg, \(\displaystyle{ g(x) = x^{2}+3x^{3}+6x^{4}+10x^{5}+21x^{7}+...}\), niestety tutaj nie mam pomysłu na interpretację kombinatoryczną.

[Premislav]

Co do pierwszego, te współczynniki przy \(\displaystyle{ x^{n}}\) są po prostu równe \(\displaystyle{ T_{n+1}={n+2\choose 2}}\)
W tym drugim mamy po prostu przesunięcie o dwa, tj. przy \(\displaystyle{ x^{n}, \ n\ge 2}\) stoi \(\displaystyle{ T_{n-1}={n\choose 2}}\)
Nie wiem jednakowoż, czy to można nazwać interpretacją kombinatoryczną…