Zbadaj asymptotykę ciągu

[Nuna]

Mam ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{10}\left[ \left( 5+ \sqrt{5} \right)\left( \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\left( 5- \sqrt{}5 \right)\left( \frac{3- \sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right] }\), chcę zbadać jego asymptotykę, jednak trochę nie jestem pewna czego dokładnie się ode mnie wymaga. Mam po prostu wziąć jakąś liczbę, aby podniesiona do tej samej potęgi była większa od \(\displaystyle{ \frac{3+ \sqrt{5} }{2}}\) ? Nie wiem jak poprawnie zrobić to zadanie.

[Janusz Tracz]

Często przez asymptotyczne zachowanie rozumie się szybkość z jaką dany ciąg dąży na przykład do \(\displaystyle{ \infty }\). Powiedzmy, że masz ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) którego szybkość rozbiegania się chcesz zbadać. Wtedy można by spróbować dobrać jakiś inny ciąg \(\displaystyle{ v_n}\) o znanej szybkości (logarytmiczna, liniowa, wielomianowa, wykładnicza, silnia...) i sprawdzić czym jest:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{v_n} =g }\)

jeśli \(\displaystyle{ g=0}\) to znaczy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) dąży w jakiś sensie wolej od znanego \(\displaystyle{ v_n}\), jeśli natomiast \(\displaystyle{ g= \infty }\) to znaczy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) dąży w jakiś sensie szybciej. Przypadek pomiędzy gdy \(\displaystyle{ g\in \left( 0, \infty \right) }\) mówi zatem, że w jakiś sensie (a dokładnie to w sensie tej granicy powyżej) ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) dąży tak szybko jak \(\displaystyle{ v_n}\). Przypadek ten cząstko bez straty ogólności wyraża się za pomocą równości \(\displaystyle{ g=1}\) (skalując \(\displaystyle{ v_n}\) przez stałą). Tak na przykład może w jakiś sensie rozumieć asymptotyczne zachowanie ciągów. Czy jesteś w stanie zaproponować jakiś ciąg \(\displaystyle{ v_n}\) o znanej asymptotycznej szybkości taki, że \(\displaystyle{ a_n/v_n \rightarrow g\in \left( 0, \infty \right) }\)?

wskazówka:    

\(\displaystyle{ \left( \frac{3- \sqrt{5} }{2} \right)^{n} \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \right)^{n} \rightarrow \infty }\)

zatem dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{10}\left[ \left( 5+ \sqrt{5} \right)\left( \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\left( 5- \sqrt{}5 \right)\left( \frac{3- \sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right] \approx \frac{1}{10}\left[ \left( 5+ \sqrt{5} \right)\left( \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right] }\)

[Nuna]

Może zbytnio teraz sobie upraszczam życie, ale czy nie wystarczy wziąć \(\displaystyle{ v_{n} = \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)^{2} }\) ?

[Janusz Tracz]

Tak, o ile przez asymptotyczne zachowanie rozumiemy tak jak opisałem za pomocą tej granicy. Jeśli bardzo byśmy chcieli aby \(\displaystyle{ g=1}\) wtedy bierzemy \(\displaystyle{ v_n= \frac{ 5+ \sqrt{5} }{10} \cdot \left( \frac{3+ \sqrt{5} }{2} \right)^{n} }\). Można jeszcze dodać, że ten ciąg (z zadania) asymptotycznie zachowuje się jak ciąg geometryczny bo \(\displaystyle{ v_n}\) jest ciągiem geometrycznym.