Szereg liczbowy

[Bozydar12]

Jak w sprawny sposób obliczyć:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{15} i \cdot {24-i \choose 9} }\)?

[Premislav]

Tę sumę można wygodniej zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sum_{i=9}^{23}(24-i){i\choose 9}}\)
a dalej na przykład tak:
\(\displaystyle{ 24-i=25-(i+1)}\) i rozbijamy na taką różnię:
\(\displaystyle{ 25\sum_{i=9}^{23}{i\choose 9}-\sum_{i=9}^{23}(i+1){i\choose 9}}\)
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ (n+1){n\choose k}=(k+1){n+1\choose k+1}}\), więc innymi słowy:
\(\displaystyle{ 25\sum_{i=9}^{23}{i\choose 9}-\sum_{i=9}^{23}(i+1){i\choose 9}\\=25\sum_{i=9}^{23}{i\choose 9}-10\sum_{i=9}^{23}{i+1\choose 10}}\)
Pozostaje skorzystać z takiego prostego w dowodzie faktu:
\(\displaystyle{ \sum_{k=r}^{n}{k\choose r}={n+1\choose r+1}}\)

Dodano po 1 minucie 49 sekundach:
PS to nie jest szereg.

[Bozydar12]

Tę sumę można wygodniej zapisać tak:
\(\displaystyle{ \sum_{i=9}^{23}(24-i){i\choose 9}}\)

Dlaczego mogę to tak zrobić, bo nie bardzo rozumiem?
Edit: Sprawdziłem, że się zgadza, ale nie wiem jak w innym przypadku miałbym intuicyjnie to zapisać.

[Premislav]

Wygodniej byłoby, gdybyś w indeksie górnym miał po prostu \(\displaystyle{ i/j}\) zamiast jakiegoś \(\displaystyle{ 24-i}\). Powiedzmy, że masz nowy wskaźnik \(\displaystyle{ j=24-i}\). Wówczas oczywiście \(\displaystyle{ i=24-j}\) oraz skoro dla \(\displaystyle{ i=1,2\ldots 15}\) wyrażenie \(\displaystyle{ 24-i}\) przebiega kolejno wartości \(\displaystyle{ 23, 22\ldots 9}\), to dostajesz taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{j=23}^{9}(24-j){j\choose 9}}\) czy też (odwracamy po prostu kolejność sumowania)
\(\displaystyle{ \sum_{j=9}^{23}(24-j){j\choose 9}}\)
Ja akurat użyłem dwa razy \(\displaystyle{ i}\), bo tak mi było wygodnie, ale może w ten sposób jest czytelniej…