Losujemy buty z 15 par

[41421356]

W szafce znajduje się piętnaście różnych par butów. Losujemy jednorazowo sześć butów. Na ile sposobów możemy to zrobić jeśli:

a.) wylosowaliśmy dokładnie jedną parę butów
b.) wylosowaliśmy dokładnie dwie pary butów
c.) wylosowaliśmy dokładnie trzy pary butów
d.) wylosowaliśmy dokładnie sześć różnych butów

?

I teraz mam pytanie czy poprawne są moje odpowiedzi:

a.) \(\displaystyle{ 261625}\)
b.) \(\displaystyle{ 11375}\)
c.) \(\displaystyle{ 455}\)
d.) \(\displaystyle{ 593775-\left(261625+11375+455\right)}\)

?

[kerajs]

a)
\(\displaystyle{ {15 \choose 1} {14 \choose 4} \cdot 2^4=240240 }\)
b)
\(\displaystyle{ {15 \choose 2} {13 \choose 2} \cdot 2^2=32760 }\)
c)
\(\displaystyle{ {15 \choose 3} =455 }\)
d1)
\(\displaystyle{ {15 \choose 6} \cdot 2^6=320320 }\)
d2)
\(\displaystyle{ {30 \choose 6} -a)-b)-c)=... }\)

[41421356]

A mógłbyś na jednym przykładzie wytłumaczyć te iloczyny? O ile chyba rozumiem te dwumiany, to nie za bardzo rozumiem te potęgi dwójki. No i najbardziej zatrważające jest to, że niepoprawnym rozumowaniem możemy dojść do prawidłowego wyniku. Ta kombinatoryka mnie wykończy.

[JHN]

a)
\(\displaystyle{ {15 \choose 1} {14 \choose 4} \cdot 2^4=240240 }\)

Jeśli buty poparujemy w pudełkach, to
-) wybieramy jedno pudełko, to oczekiwana para butów
-) z pozostałych wybieramy cztery pudełka, z każdego nich...
-) ...wybieramy lewy albo prawy but, to buty bez pary

Pozdrawiam

[41421356]

Już wszystko jasne! Dziękuję za wyjaśnienie.

[a4karo]

Tyle, że jak te buty są sparowane w pudełkach, to zawsze wyciągniesz trzy pary. Model wyboru przedstawiony przez kerajsa jest co najmniej sztuczny

[41421356]

No ja w d.) liczyłem to jeszcze z reguły mnożenia:

\(\displaystyle{ \frac{30\cdot 28\cdot 26\cdot 24\cdot 22\cdot 20}{6!}}\)

Dodano po 57 minutach 22 sekundach:

Tyle, że jak te buty są sparowane w pudełkach, to zawsze wyciągniesz trzy pary. Model wyboru przedstawiony przez kerajsa jest co najmniej sztuczny

A mógłbym prosić i Twój model wyboru? Jestem bardzo ciekaw innego podejścia.

[a4karo]

Policzę przypadek a)

Jedną parę butów można wybrać na `15` sposobów. Jak już ją mamy, to musimy dobrać cztery buty tak, aby wśród nich nie było pary.

Policzmy na ile sposobów można to zrobić:

Jeżeli wybraliśmy `0` lewych (jeden sposób), to cztery prawe można wybrać na \(\binom{14}{4}\) sposoby.
Jeżeli wybraliśmy jeden lewy \(\binom{14}{1}\), to na prawy mamy \(\binom{13}{3}\) możliwości
Dwa lewe (\(\binom{14}{2}\)) dają \(\binom{12}{2}\) wybory prawych
Do każdych trzech lewych \(\binom{14}{3}\) mogę wybrać tylko po jednym prawym (na `11` sposobów)
Wybór czterech lewych \(\binom{14}{4}\) już nie pozostawia wyboru czarnych.

Zatem mamy sposobów
\(\displaystyle{ 15\left[\binom{14}{4}+\binom{14}{1}\binom{13}{3}+\binom{14}{2}\binom{12}{2}+\binom{14}{3}\binom{11}{1}+\binom{14}{4}\right].}\)

[kerajs]

No ja w d.) liczyłem to jeszcze z reguły mnożenia:
\(\displaystyle{ \frac{30\cdot 28\cdot 26\cdot 24\cdot 22\cdot 20}{6!}}\)

To także jest poprawne, a wynikiem jest 320320 czyli to samo co w d1) i d2)

Policzę przypadek a) (...)
\(\displaystyle{ 15\left[\binom{14}{4}+\binom{14}{1}\binom{13}{3}+\binom{14}{2}\binom{12}{2}+\binom{14}{3}\binom{11}{1}+\binom{14}{4}\right].}\)

co także daje 240240.
Moim zdaniem, bardziej naturalnym jest losowanie buta z dostępnych par, niż z butów lewych lub prawych.

PS
Może jeszcze dodam, że powyższe rozwiązania są poprawne tylko dla rozróżnialnych par butów.

[a4karo]

Co jest bardziej intuicyjne lub naturalne jest kwestią indywidualną bardzo. Ważne jest to, że wspólnie z kerajsem otrzymaliśmy kombinatoryczny dowód takiej tożsamości:

\(\displaystyle{ 2^m\binom{n}{m}=\sum_{k=0}^m \binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}.}\)

[arek1357]

Brawo teraz zróbcie to samo dla \(\displaystyle{ 15}\) par butów jednakowych par różniących się tylko lewa - prawa, czyli buty nierozróżnialne parami...

[41421356]

Co jest bardziej intuicyjne lub naturalne jest kwestią indywidualną bardzo. Ważne jest to, że wspólnie z kerajsem otrzymaliśmy kombinatoryczny dowód takiej tożsamości:

\(\displaystyle{ 2^m\binom{n}{m}=\sum_{k=0}^m \binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}.}\)

Ciekawa tożsamość, wygląda jak uogólnienie wzoru Newtona dla \(\displaystyle{ x=y=1}\).

[a4karo]

Brawo teraz zróbcie to samo dla \(\displaystyle{ 15}\) par butów jednakowych par różniących się tylko lewa - prawa, czyli buty nierozróżnialne parami...

To zostawimy dla Ciebie, bo to banalne

[arek1357]

jednak mój poziom wykształcenia jest bardziej banalny niż poziom tego zadania...

[Gosda]

Czy jest jakieś doświadczenie, które mogę wykonać mając w portfelu 100 złotych, w ramach którego dokonam losowania z pewnej kolekcji nierozróżnialnych obiektów?

Pytam, bo mam wrażenie, że w prawdziwym świecie zawsze możemy traktować obiekty jako rozróżnialne (przynajmniej w skali makro).