Równanie liniowe niejednorodne rekurencyjne

[smxh]

witam,
mam problem z wyznaczaniem współczynników przy rozwiązywaniu równania szczególnego.

\(\displaystyle{ x _{n+1}=10x_{n}-21x_{n-1}+5^n,\ x_{1}=1,x_{2}=1}\)

rownanie szczegolne jest u mnie równe \(\displaystyle{ x_{n}^{*}=A\cdot 5^n}\)

chcialem wyznaczyc wspolczynnik \(\displaystyle{ A}\) na dwa sposoby:
pierwszy wstawiając za \(\displaystyle{ x_{n}=A\cdot 5^n}\) do rownania rekurencyjnego
drugi podstawijąc pierwszy wyraz czyli \(\displaystyle{ 1=10\cdot 5^1\cdot A-21\cdot 5^n\cdot A+5^1, x_{1}=1,x x_{2}=1}\)

jednak wyniki nie zgadzają się, z pierwszego równania otrzymałem \(\displaystyle{ A=-\frac52}\), a z drugiego \(\displaystyle{ A=-\frac{4}{29}.}\)

pytanie brzmi czy ja coś zrobiłem źle, czy druga metoda nie jest poprawna?

[janusz47]

\(\displaystyle{ x_{n+1} - 10x_{n} + 21x_{n-1} = 5^{n} \ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ x_{1} = x_{2} =1 \ \ (1') }\)

Równanie charakterystyczne równania jednorodnego:

\(\displaystyle{ x^2 - 10x +21 = 0 }\)

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

\(\displaystyle{ x_{1} = 3, \ \ x_{2} = 7. }\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

\(\displaystyle{ y_{0} = c \cdot 3^{n} + d \cdot 7^{n} }\)

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci

\(\displaystyle{ y_{p} = e \cdot 5^{n} \ \ (2)}\)

Proszę podstawić \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\) i znaleźć liczbę \(\displaystyle{ e }\)

Rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ y = y_{0} + y_{p} }\)

Rozwiązanie szczególne równania \(\displaystyle{ (1) }\) znajdujemy po wyznaczeniu wartości stałych \(\displaystyle{ c, \ \ d }\) na podstawie warunków początkowych \(\displaystyle{ (1'). }\)

[smxh]

w takim razie w przypadku gdy współczynników jest wiecej, na przyklad gdy mamy dodatkowo wielomian 1,2... stopnia to szukamy wspolcznników w ten sam sposób? znajdując równanie szczególne, a potem wstawiając do znanych wyrazów. trywialnie dopytam, wtedy wstawiamy za "n" numer wyrazu?

[janusz47]

Tak jest.

[a4karo]

w takim razie w przypadku gdy współczynników jest wiecej, na przyklad gdy mamy dodatkowo wielomian 1,2... stopnia to szukamy wspolcznników w ten sam sposób? znajdując równanie szczególne, a potem wstawiając do znanych wyrazów. trywialnie dopytam, wtedy wstawiamy za "n" numer wyrazu?

Nie do końca tak jest. Jeżeli pierwiastki wielomianu charakterystycznego są wielokrotne, to procedura jest trochę inna. Podobnie gdy "prawa strona" jest podobna do rozwiązań równania charakterystycznego.

Zachęcam do poszukania i przeczytania literatury.

[smxh]

Nie wiem niestety pod jakim hasłem szukać tego typu problemu. Znajduję omówienie zadań które mnie interesują, ale zawsze krok z współczynnikami który mnie interesuje zawsze jest pominięty i są podane gotowe. Stąd też post tutaj na forum.

Będę niezmiernie wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu tego przykładu, powinien mi rozjaśnić sprawę z współczynnikami:

\(\displaystyle{ x_{n+1}=2x_{n}-x_{n-1}+n}\)

z równania charakterystycznego dostajemy jeden pierwiastek podwojny równy 1, zatem równanie szczególne:
\(\displaystyle{ x_{*}=(An+B)n^2}\)

Zatem jak sprawa będzie wyglądać w takim przypadku z współczynnikami?

[a4karo]

np tu

[arek1357]

Proponuję wyskoczyć z krótkich spodenek i przejść na szeregi wtedy życie staje się łatwiejsze...
(Bez szeregów brnięcie w rekurencję to tak jak iść na wojnę z procą i kijem)...Przy bardziej zaawansowanych przypadkach leżymy i kwiczymy...(wszyscy). O czym już zresztą słusznie wspominał Mariuszm...

A tak zawsze przypadki i przypadeczki będą dość upierdliwe a co dopiero gdy pojawią się wielomiany wyższych stopni, pierwiastki wielokrotne, zespolone, wtedy to dopiero zaczniemy tańczyć salsę w miejscu gubiąc kroki...