Liczba ciągów

[41421356]

Niech \(\displaystyle{ n\geq 5}\) będzie liczbą naturalną. Rozważmy \(\displaystyle{ n}\)-wyrazowe ciągi o wyrazach \(\displaystyle{ A, B, C, D, E}\). Ile jest wszystkich takich ciągów, w których:
a.) każde dwa kolejne wyrazy są różne?
b.) występują co najwyżej dwa różne wyrazy?
c.) każde pięć kolejnych wyrazów jest różnych?

Narazie zaciąłem się przy podpunkcie b.)

[Premislav]

b) Nie jest to szczególnie błyskotliwe, ale można to rozdzielić na przypadek bez różnych wyrazów i z dokładnie dwoma różnymi wyrazami. W tym pierwszym przypadku jest ich oczywiście \(\displaystyle{ 5}\), a w tym drugim \(\displaystyle{ {5\choose 2}\left(2^{n}-2\right)}\)
Na \(\displaystyle{ {5\choose 2}}\) sposobów wybieramy dwie litery, które pojawią się w ciągu, a następnie na \(\displaystyle{ 2^{n}-2}\) sposobów wybieramy pozycje, na których pojawi się jedna litera (na przykład ta wcześniej wystepująca w alfabecie, cokolwiek), a na pozostałych miejscach wstawiamy tę druga (odejmujemy przypadek samych liter pierwszego rodzaju i żadnych liter pierwszego rodzaju).
Łącznie więc dostajemy \(\displaystyle{ 5+{5\choose 2}\left(2^{n}-2\right)}\) ciągów spełniających warunki.
c) Nie jestem pewien, czy poprawnie rozumiem treść zadania, ale jeśli tak, to okazuje się, że ustawienie liter na pięciu początkowych pozycjach determinuje już wszystkie wyrazy. Najłatwiej to prześledzić dla \(\displaystyle{ n=5,6,7,8,9}\) i uogólnić (albo szybciej uogólnić).

[arek1357]

Co do a) możemy napisać:

Uogólnijmy:

\(\displaystyle{ a(n,k)}\) - są to ciągi składające się z\(\displaystyle{ k}\) różnych elementów o długości \(\displaystyle{ n}\), tak żeby żadne dwa kolejne się nie powtarzały...

łatwo zauważyć , że:

\(\displaystyle{ a(1,5)=5}\)

\(\displaystyle{ a(2,5)=5 \cdot 4}\)

ogólnie:

\(\displaystyle{ a(n,5)=a(n-1,5) \cdot 4}\)

[41421356]

Mi wyszło w pierwszym podpunkcie \(\displaystyle{ 5\cdot 4^{n-1}}\)

[arek1357]

Mi wyszło w pierwszym podpunkcie \(\displaystyle{ 5 \cdot 4^{n-1}}\)

Toś Ameryki w tym momencie nie odkrył...

A myślisz, że co ja napisaem może co inne?

Czy Pan Matoł Matołecki to kto inny niż Pan Matołecki Matoł?

Mieli już u was rekurencję???

[41421356]

c) Nie jestem pewien, czy poprawnie rozumiem treść zadania, ale jeśli tak, to okazuje się, że ustawienie liter na pięciu początkowych pozycjach determinuje już wszystkie wyrazy. Najłatwiej to prześledzić dla \(\displaystyle{ n=5,6,7,8,9}\) i uogólnić (albo szybciej uogólnić).

Czyli dobrze rozumiem, że prawidłowa odpowiedź do tego podpunktu to \(\displaystyle{ 5!=120}\)?

[Premislav]

Zgadza się.

[41421356]

Dziękuję bardzo za podpowiedzi. Na koniec pytanie zagwozdka: Jak dyskutować z argumentami, że przecież z dowolności wyboru \(\displaystyle{ n}\), w każdym z tych podpunktów jest nieskończenie wiele ciągów więc:

a.) nieskończenie wiele
b.) nieskończenie wiele
c.) nieskończenie wiele

?

[Premislav]

We fragmencie (zakładam, że zacytowałeś oryginalną treść zadania)

Niech \(\displaystyle{ n\ge 5}\) będzie liczbą naturalną

\(\displaystyle{ n}\) zostaje ustalone. Ktokolwiek z tym dyskutuje, nie zna konwencji lub jest trollem.

[41421356]

Dziękuję bardzo za pomoc!