Czy istnieje wzór jawny na liczby Stirlinga drugiego rodzaju?

[alfacentaur]

Jak w tytule, byłbym wdzięczny za odpowiedź.

[kmarciniak1]

W takim sensie aby wyrazić je jako jakąś funkcje, której wartości można sobie bezpośrednio obliczać? No to nie istnieje chyba. Jest za to wzór rekurencyjny ale to chyba wiesz

edycja:
Można je co prawda zapisać jako pewną sumę ale ta suma nie ma zwartej postaci

[janusz47]

Można udowodnić dwa wzory dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju w posaci zwartej sum

\(\displaystyle{ S(n,k) = \frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}{k\choose j}(k-j)^{n},}\)

\(\displaystyle{ S(n,k) = \frac{(-1)^{k}}{k!} \sum_{i=0}^{k}( -1)^{i}{k\choose i}i^{n}. }\)

[kmarciniak1]

Można udowodnić dwa wzory dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju w posaci zwartej sum

Te wzory które napisałeś to zdecydowanie nie jest postać zwarta

[janusz47]

Co to znaczy postać zwarta czy niezwarta wzoru ? Napisałem dwa wzory na liczby Stirlinga II rodzaju. Czy są wygodne, czy niewygodne w użyciu, to już inna sprawa. Najczęściej używa wygodniejszych dla tych liczb zależności rekurencyjnych jako łatwiejszych w użyciu.

[kmarciniak1]

Można udowodnić dwa wzory dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju w posaci zwartej sum

Co to znaczy postać zwarta czy niezwarta wzoru ?

Czyli mam rozumieć, że używasz słów których znaczenia nie znasz?

PS
Nie będę więcej z tobą dyskutował bo po innych twoich postach widzę ,że i tak nic do ciebie nie dociera.

[janusz47]

Bez uwag Panie kmarciniak1.

[Premislav]

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=zRIbf6JqkNc

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Closed-form_expression

[janusz47]

Bez uwag Panie Premislavie.

[a4karo]

Bez uwag Panie Premislavie.

Nawet się nie pofatygowałeś żeby sprawdzić link od Premislava. A tam "stoi napisane" , że skończone sumy są dopuszczalne w zwartej postaci.

[kmarciniak1]

Aczkolwiek w " praktyce życiowej" nie uważa się takich sum zapisanych z użyciem sigmy za zwartą postać.

[alfacentaur]

Ale gównoburze wywolało moje pytanie xD

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_jawny

Wzór jawny – wzór matematyczny na wartość wyrazów ciągu lub wartości funkcji zależny bezpośrednio od numeru wyrazu ciągu, lub argumentów funkcji.
Kryteriów wzoru jawnego nie spełniają np. definicje rekurencyjne ciągów lub definicje funkcji poprzez równanie funkcyjne.

[kmarciniak1]

Ale gównoburze wywolało moje pytanie

No cóż, juz od około miesiąca trzeba siedzieć w domu więc się człowiek nudzi. Nie potępiaj nas xd