Rozpad cząsteczek jądrowych

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
zekori
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 26 sty 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 8 razy

Rozpad cząsteczek jądrowych

Post autor: zekori »

Wewnątrz reaktora jądrowego znajdują się 2 rodzaje cząsteczek typu\(\displaystyle{ \alpha }\) i typu\(\displaystyle{ \beta }\). W każdej sekundzie cząstka \(\displaystyle{ \alpha }\) rozpada się na trzy cząstki \(\displaystyle{ \beta }\), a cząstka \(\displaystyle{ \beta }\) na jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha }\) i 2 cząstki \(\displaystyle{ \beta }\). Jeśli umieścimy w reaktorze jedną cząstkę \(\displaystyle{ \alpha }\) w czasie t=0 sekund to ile cząstek będzie po czasie t=100?
Zadanie należy rozwiązać rekurencyjnie. Odpowiedź to \(\displaystyle{ a_{n} = b_{n-1}, b_{n} =3 a_{n-1} + 2 b_{n-1}, a_{0}=1, b_{0}=1, c_{n} = a_{n} + b_{n},
c_{n} =3 c_{n-1}+3 c_{n-2} , c_{0}=1, c_{1}=3 }\)

Zależy mi na zrozumieniu tego zadania.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Rozpad cząsteczek jądrowych

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ a_n }\)-liczba cząstek alfa w n-tej sekundzie
\(\displaystyle{ b_n}\) -liczba cząstek beta w n-tej sekundzie
\(\displaystyle{ c_n}\) -liczba cząstek w n-tej sekundzie

\(\displaystyle{ a_0=1 \wedge b_0=0\\
a_1=0 \wedge b_1=3\\
a_2=3 \wedge b_2=6}\)

Treść zadania mówi o równaniach rekurencyjnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_n=b_{n-1} \\ b_n=3a_{n-1}+2b_{n-1} \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ b_n=3b_{n-2}+2b_{n-1}\\
r^2=3r+2\\
(r-3)(r+1)=0\\
b_n=A3^n+B(-1)^n}\)

współczynniki wyliczam z warunków początkowych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=A3^0+B(-1)^0 \\ 3=A3^1+B(-1)^1 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ b_n= \frac{3}{4} \cdot 3^n- \frac{1}{4}(-1)^n\\
a_n=b_{n-1}=\frac{3}{4} \cdot 3^{n-1}- \frac{1}{4}(-1)^{n-1} \\
c_n=a_n+b_n=\frac{3}{4} \cdot 3^{n-1}- \frac{1}{4}(-1)^{n-1}+\frac{3}{4} \cdot 3^{n}- \frac{1}{4}(-1)^{n}}\)
zekori
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 26 sty 2020, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 8 razy

Re: Rozpad cząsteczek jądrowych

Post autor: zekori »

kerajs pisze: 29 mar 2020, o 22:04
Treść zadania mówi o równaniach rekurencyjnych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_n=b_{n-1} \\ b_n=3a_{n-1}+2b_{n-1} \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ b_n=3b_{n-2}+2b_{n-1}\\}\)
Właśnie nie za bardzo wiem skąd to jest, jak do tego dojść. Domyślam się, że \(\displaystyle{ b_n=3a_{n-1}+2b_{n-1} }\) jest dlatego, ponieważ cząsteczka \(\displaystyle{ \beta }\) składa się z 2 cząsteczek \(\displaystyle{ \beta }\) oraz cząsteczki \(\displaystyle{ \alpha }\) , która rozbija się na 3 cząsteczki \(\displaystyle{ \alpha}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Rozpad cząsteczek jądrowych

Post autor: kerajs »

Tak.
Zakładam, że w czasie \(\displaystyle{ t=n-1}\) było \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) cząstek alfa i \(\displaystyle{ b_{n-1}}\) cząsteczek beta. Po sekundzie \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) cząstek alfa rozpada się na \(\displaystyle{ 3a_{n-1}}\) cząstek beta, a \(\displaystyle{ b_{n-1}}\) cząsteczek beta rozpada się na \(\displaystyle{ b_{n-1}}\) cząsteczek alfa i \(\displaystyle{ 2b_{n-1}}\) cząsteczek beta.
Sumując powyższe mam \(\displaystyle{ b_{n-1}}\) cząsteczek alfa i \(\displaystyle{ 3a_{n-1}+2b_{n-1}}\) cząsteczek beta. Bardziej formalny zapis ilości cząstek w czasie \(\displaystyle{ t=n}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_n= b_{n-1} \\ b_n=3a_{n-1}+2b_{n-1} \end{cases} }\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Rozpad cząsteczek jądrowych

Post autor: janusz47 »

Jest to zadanie z listy zadań na metodę funkcji tworzących. Należy rozwiązać równania rekurencyjne tą metodą i określić ile cząstek \(\displaystyle{ \alpha }\) uległo rozpadowi po czasie \(\displaystyle{ t = 100 s.}\)
ODPOWIEDZ