Kombinatoryka

[Belf]

Ile jest kodów pięciocyfrowych, w zapisie których występuje przynajmniej jedna cyra nieparzysta, przynajmniej jedna parzysta i przynajmniej trzy różne cyfry ?

[Premislav]

Wcześniej pisałem wersję dla liczb, a nie kodów, ta różnica mocno ułatwia sprawę.

Jest \(\displaystyle{ 5^{5}}\) kodów pięciocyfrowych z samymi cyframi nieparzystymi, \(\displaystyle{ 5^{5}}\) kodów z samymi cyframi nieparzystymi, zatem
kodów pięciocyfrowych, w których występuje co najmniej jedna cyfra parzysta i co najmniej jedna cyfra nieparzysta mamy
\(\displaystyle{ 10^{5}-2\cdot 5^{5}}\).
Natomiast nietrudno spostrzec, że jest \(\displaystyle{ 25\cdot \left(2^{5}-2\right)}\) kodów pięciocyfrowych z dokładnie jedną cyfrą parzystą i dokładnie jedną cyfrą nieparzystą: na pięć sposobów wybieramy tę parzystą, na pięć sposobów – nieparzystą, a następnie na \(\displaystyle{ 2^{5}-2}\) sposobów określamy, na których pozycjach wystąpi parzysta (odejmujemy, bo nie chcemy, by wystąpiła na każdej albo na żadnej), a na pozostałe dajemy nieparzystą.
Czyli wynik w zadaniu to
\(\displaystyle{ 10^{5}-2\cdot 5^{5}-25\cdot \left(2^{5}-2\right)}\)

Dodano po 2 minutach 5 sekundach:
NB może trochę więcej inwencji w nazwach tematów? Już któryś swój wątek tytułujesz „Kombinatoryka", co jest naprawdę precyzyjnym opisem tematu z działu „Kombinatoryka i matematyka dyskretna".