Z drugiej strony \(\displaystyle{ (1-x^{2})^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-x^{2})^{k} = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^{k}(x^{2k}) }\)
No i właśnie teraz chciałabym porównać współczynniki przy \(\displaystyle{ x^{n}}\). Wtedy \(\displaystyle{ a+n-b=n}\), zatem \(\displaystyle{ a=b}\). Mam sumę \(\displaystyle{ \sum_{a=0}^{n} {n \choose a} (-1)^{a} }\) przy \(\displaystyle{ x^{n}}\). Problem ma trochę z tym drugim równaniem. Tutaj \(\displaystyle{ x^{n}}\) będzie występować dla \(\displaystyle{ k=n/2}\), ale to nie daje raczej poprawnej odpowiedzi...
Zad.2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k \le n}\) mamy: \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{k} \right)^{k} \le {n \choose k} \le \left( \frac{ne}{k} \right) ^{k} }\)
Tu za bardzo nie mam pomysłu, może indukcja? Ale wtedy po k czy n?
Nuna pisze: ↑19 mar 2020, o 13:56
Zad.2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k \le n}\) mamy: \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{k} \right)^{k} \le {n \choose k} }\)
Zauważmy, że gdy \(\displaystyle{ n \ge k}\) to dla każdego \(\displaystyle{ i\in \left\{ 0,1,...,k-1\right\} }\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{n}{k} \le \frac{n-i}{k-i} }\) dowód polega na sprawdzeniu, że \(\displaystyle{ n(k-i) \le k(n-i)}\) co sprawdza się do \(\displaystyle{ nk-in \le nk-ik}\) a to do założenia \(\displaystyle{ n \ge k}\). Zatem prawdą jest też:
Co do pierwszego:
równość \(\displaystyle{ (1-x)^{n}(1+x)^{n}=\sum_{a=0}^{n}{n\choose a}(-x)^{a}\sum_{b=0}^{n}x^{b}}\)
jest przecież niepoprawna. Powinno być tak: \(\displaystyle{ (1-x)^{n}(1+x)^{n}=\sum_{a=0}^{n}{n\choose a}(-x)^{a}\sum_{b=0}^{n}{n\choose b}x^{b}}\)
Natomiast samo porównanie współczynników przy \(\displaystyle{ x^{n}}\) to idealny pomysł, który zasugerowała zresztą ta wskazówka do zadania.
Z jednej strony ten współczynnik wynosi: \(\displaystyle{ 0}\), gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste oraz \(\displaystyle{ (-1)^{\frac{n}{2}}{n\choose \frac{n}{2}}}\) gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste(z rozwinięcia \(\displaystyle{ \left(1-x^{2}\right)^{n}}\) ze wzoru dwumianowego).
Z drugiej strony korzystając z: \(\displaystyle{ (1-x)^{n}(1+x)^{n}=\sum_{a=0}^{n}{n\choose a}(-x)^{a}\sum_{b=0}^{n}{n\choose b}x^{b}}\)
widzimy, że ten współczynnik wynosi \(\displaystyle{ \sum_{\left\{(a,b)\in \left\{0,1,\ldots n\right\}:a+b=n\right\}}^{}(-1)^{a}{n\choose a}{n\choose b}=\sum_{a=0}^{n}(-1)^{a}{n\choose a}{n\choose n-a}=\sum_{a=0}^{n}(-1)^{a}{n\choose a}^{2}}\)
Nuna pisze: ↑19 mar 2020, o 13:56
Zad.2. Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k \le n}\) mamy: \(\displaystyle{ {n \choose k} \le \left( \frac{ne}{k} \right) ^{k} }\)
\(\displaystyle{ \text{Lemat.}}\) Dla dolnego \(\displaystyle{ k\in\NN}\) zachodzi \(\displaystyle{ k! \ge \left( \frac{k}{e} \right)^k }\) (to dość znane szacowanie silni)
dowód lematu:
Indukcja, kluczowe jest spostrzeżenie, że założenie indukcyjne pozwala rozważać nierówność \(\displaystyle{ \left( \frac{k}{e}\right)^k(k+1) \ge \left( \frac{k+1}{e}\right)^{k+1} }\) która jest równoważna z \(\displaystyle{ e \ge \left( 1+ \frac{1}{k} \right)^k }\) która jest prawdziwa (znany fakt).
wtedy korzystając z lematu w drugiej (pierwsza zaś jest oczywista) nierówność mamy: