Zastanawiam się nad poprawnym rozwiązaniem takiego problemu:
Dla jakich wartości n następujące zdanie jest prawdziwe: przy dowolnym rozmieszczeniu 61 kul pomiędzy 4 szufladki któraś z szufladek zawiera co najwyżej n kul?
Zgodnie z moim rozumowaniem możliwe jest że wszystkie 61 kul zostaną rozmieszczone do 1 szufladki a reszta pozostanie pusta albo w 58 do 1 szufladki a do pozostałych po 1, jednak nie jest to prawidłowe rozwiązanie. Proszę o pomoc i proste wyjaśnienie
Można wskazać rozmieszczenie \(\displaystyle{ (15,15, 15,16)}\) (z dowolnym przyporządkowaniem, tj. w jednej szufladce szesnaście kul, a w pozostałych po piętnaście), co wskazuje, że \(\displaystyle{ n\le 14}\) nie działają. No a \(\displaystyle{ n=15}\) (i właściwie dowolne większe, jeśli przez „co najwyżej" rozumiemy słabą nierówność) już działa, bo gdyby w każdej z czterech szufladek było co najmniej szesnaście kul, to łącznie mielibyśsmy co najmniej \(\displaystyle{ 4\cdot 16>61}\), co jest wykluczone.
Tu warto myśleć o jak najbardziej równomiernym rozmieszczeniu tych kul bo przy równomiernym rozkładzie liczba kul w jakiś urnie będzie właśnie tą najmniejszą. Trochę takie naczynie połączone jak gdzie jest mało kul to gdzie indziej jest ich dużo czyli interesuje nas sytuacja gdzie jest to wyrównane do \(\displaystyle{ (15,15, 15,16)}\) co właściwie napisał Premislav ale chciałem tylko taki geometryczno-wizualny aspekt podkreślić jak mamy \(\displaystyle{ 4}\) miejsca i jakieś się kurczy to jakieś musza puchnąć tak by niezmiennik \(\displaystyle{ 61}\) kul pozostał stały.
Dla \(\displaystyle{ n}\) większych lub równych od \(\displaystyle{ 15}\) też jest spełnione. Przykładowo przy dowolnym rozmieszczeniu \(\displaystyle{ 61}\) kul pomiędzy \(\displaystyle{ 4}\) szufladki któraś na pewno zawiera co najwyżej \(\displaystyle{ 62}\) kule (a nawet wszystkie) czyli dla \(\displaystyle{ n=62}\) działa.
A gdyby rozłożyć \(\displaystyle{ (14, 15, 15, 17)}\)? Czy taka odpowiedź będzie już niepoprawna?
A co to znaczy nieoprawna odpowiedź. Tu nie ma odpowiedzi co najwyżej przykład rozmieszczenia i może on coś pokazywać lub nie. Rozmieszczeni pokazuje, że jeśli gdzieś postanowimy wsadzić \(\displaystyle{ 14}\) kul to gdzieś indziej musi ich przybyć i pojawi się \(\displaystyle{ 15}\) lub więcej w innej urnie.
