Wyznacz wszystkie permutacje

[Nuna]

Mam problem ze zrozumieniem zadania:
Wyznacz wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3, ... , n\right\} }\), które mają dokładnie jedną inwersję oraz te, które mają dokładnie dwie inwersje.

Moja pierwsza myśl to było policzenie ile jest takich permutacji, ale polecenie wydaje mi się jednak inne.

[Dasio11]

Możesz skorzystać z faktu, że liczba inwersji to najmniejsza liczba transpozycji liczb sąsiednich, na jaką da się rozłożyć permutację.

[Nuna]

Możesz skorzystać z faktu, że liczba inwersji to najmniejsza liczba transpozycji liczb sąsiednich, na jaką da się rozłożyć permutację.

Ok, czyli szukam po prostu permutacji, która ma zamienione tylko dwa elementy (sąsiednie), a w drugim przypadku takiej, która przesuwa mi liczbę o dwa miejsca? I dobrze rozumiem, że w zadaniu chodzi o wyznaczenie liczby tych permutacji?

Dodano po 36 minutach 28 sekundach:
Edit:
Jeśli dobrze liczę dla jednej inwersji mamy \(\displaystyle{ (n-1)}\) takich permutacji, dla dwóch mam dwie możliwości:
1. przesuwam jedną liczbę o 1 w prawo i inną również
mam \(\displaystyle{ (n-1)(n-3)}\) możliwości. Choć tego drugiego składnika iloczynu pewna nie jestem. Chcę uniknąć sytuacji, żeby pierwszy przypadek pokrywał mi się z drugim tzn. "nie tykam" już liczb, które się zamieniły, aby nie dopuścić do zmiany jednej liczby od dwa miejsca,
2. zamiana jednej pozycji o dwa miejsca, mogę to zrobić na \(\displaystyle{ n-2}\) sposoby.

[Dasio11]

1. Poprawny wzór na liczbę permutacji rozkładających się na iloczyn dwóch rozłącznych transpozycji liczb sąsiednich to \(\displaystyle{ \binom{n-2}{2} = \frac{1}{2}(n-2)(n-3)}\). Aby to wykazać, zauważ że konstrukcja takiej permutacji jest jednoznaczna z pokrojeniem ciągu liczb od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) na cykle długości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\), tak by tych drugich były dokładnie dwa. To zaś można zrobić zaczynając od \(\displaystyle{ n-2}\) "pustych" cykli i wybierając z nich dwa, które będą dwuelementowe, a następnie wpisując w nie kolejne liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), uwzględniając ich "pojemność". Na przykład: dla \(\displaystyle{ n = 7}\) jeśli z ciągu pustych cykli \(\displaystyle{ () () () () ()}\) wybierzemy trzeci i piąty, to da nam permutację \(\displaystyle{ (1)(2)(3 \ 4)(5)(6 \ 7)}\).

2. Na \(\displaystyle{ n-2}\) sposoby można wybrać cykl trzyelementowy złożony z liczb sąsiednich, ale każdy taki cykl może biec w jednym z dwóch kierunków, zatem takich cykli jest \(\displaystyle{ 2n-4}\).

I dobrze rozumiem, że w zadaniu chodzi o wyznaczenie liczby tych permutacji?

Moim zdaniem chodzi jednak o jakiś opis wszystkich permutacji spełniających warunki, a nie tylko o liczbę. Proponuję taki:

\(\displaystyle{ \{ (k, \ k{+}1)(\ell, \ \ell{+}1) : 1 \le k \wedge k+1 < \ell \wedge \ell+1 \le n \} \\
\cup \{ (k, \ k{+}1, \ k{+}2) : 1 \le k \le n-2 \} \\
\cup \{ (k{+}2, \ k{+}1, \ k) : 1 \le k \le n-2 \}}\)

[Nuna]

Dziękuję pięknie za świetne wytłumaczenie