Dziewczęta i chłopcy w kolejce

[41421356]

Na ile sposobów możemy ustawić w kolejce grupę dziewcząt i chłopców w taki sposób, aby żadne z dwóch dziewcząt nie stały obok siebie jeśli:

a.) w grupie jest \(\displaystyle{ 5}\) dziewczyn i \(\displaystyle{ 4}\) chłopców

b.) w grupie jest \(\displaystyle{ 5}\) dziewczyn i \(\displaystyle{ 9}\) chłopców

Czy w a.) powinno wyjść \(\displaystyle{ 4!\cdot5!}\) ? Jak najszybciej zliczyć w b.) ?

[Janusz Tracz]

Jeśli ustawimy \(\displaystyle{ 5}\) dziewczyn pomiędzy nimi są akurat \(\displaystyle{ 4}\) miejsca na których musi znaleźć się \(\displaystyle{ 4}\) chłopaków. Więc jedno miejsce przypada jednemu chłopakowi. Ustawić \(\displaystyle{ 5}\) dziewczyn można na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów a wypełnić \(\displaystyle{ 4}\) miejsca \(\displaystyle{ 4}\) chłopakami można na \(\displaystyle{ 4!}\) stąd liczba wszystkich takich ustawień to \(\displaystyle{ 4! \cdot 5!}\)

b) szkic:    

A gdyby tak ustawić najpierw \(\displaystyle{ 9}\) chłopaków na \(\displaystyle{ 9!}\) sposobów to pomiędzy nimi oraz na krańcach w sumie będzie \(\displaystyle{ 11}\) miejsc w których potencjalnie może znaleźć się dziewczyna wybierzmy \(\displaystyle{ 5}\) takich miejsc \(\displaystyle{ {11 \choose 5} }\) sposobów a następnie wypełnijmy je dziewczynami na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów więc mamy \(\displaystyle{ 9! \cdot {11 \choose 5} \cdot 5! }\) ustawień. Ja zawsze byłem słaby z kombinatoryki więc nie traktuj tego tak na \(\displaystyle{ 100 \% }\).

[41421356]

Mi wyszło \(\displaystyle{ 4!\cdot 5!\cdot 6!}\)

[kerajs]

To błędny wynik.
Janusz Tracz zaproponował dobry sposób, lecz zrobił literówkę. Miało być:

A gdyby tak ustawić najpierw \(\displaystyle{ 9}\) chłopaków na \(\displaystyle{ 9!}\) sposobów to pomiędzy nimi oraz na krańcach w sumie będzie \(\displaystyle{ \color{blue}10}\) miejsc w których potencjalnie może znaleźć się dziewczyna wybierzmy \(\displaystyle{ 5}\) takich miejsc \(\displaystyle{ {\color{blue}{10} \choose 5} }\) sposobów a następnie wypełnijmy je dziewczynami na \(\displaystyle{ 5!}\) sposobów więc mamy \(\displaystyle{ 9! \cdot {\color{blue}{10} \choose 5} \cdot 5! }\) ustawień.

[41421356]

Dziękuję bardzo za pomoc.