Rozkład na transpozycje liczb sąsiednich

[Nuna]

Mam permutację \(\displaystyle{ { 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \choose 2 \ 3 \ 9 \ 1 \ 5 \ 4 \ 8 \ 7 \ 6} }\).
Rozłożyłam ją na transpozycje
\(\displaystyle{ (1 \ 4)(1 \ 6)(1 \ 9)(1 \ 3)(1 \ 2)(5)(7 \ 8)}\)
i teraz chce te transpozycje rozłożyć na transpozycje liczb sąsiednich.
Zrobiłabym to tak:
\(\displaystyle{ (1 \ 4) = (1 \ 2)(2 \ 3)(3 \ 4)}\) i tak po kolei rozpisując każdą coś by mi wyszło, jednak zastanawiam się czy to w ogóle jest poprawne i czy nie da się sprytniej.

Jeszcze: jak zapisać transpozycję liczb sąsiednich takiego cyklu \(\displaystyle{ (5)}\)?

[Dasio11]

Zrobiłabym to tak:
\(\displaystyle{ (1 \ 4) = (1 \ 2)(2 \ 3)(3 \ 4)}\)

Jeśli wymnożysz te transpozycje, to zobaczysz, że podana równość nie jest prawdziwa. Poprawnie rozkłada się tak - na przykładzie:

\(\displaystyle{ (2 \ 5) = (2 \ 3)(3 \ 4)(4 \ 5)(4 \ 3)(3 \ 2)}\).

[Nuna]

\(\displaystyle{ (2 \ 5) = (2 \ 3)(3 \ 4)(4 \ 5)(4 \ 3)(3 \ 2)}\).

Okej, czyli muszę jakby "wrócić". Czyli każdą transpozycję powyżej muszę tak rozpisać? Trochę tego dużo

[Dasio11]

Dla pojedynczej transpozycji powyższa metoda daje rozkład na najmniejszą możliwą liczbę transpozycji liczb sąsiednich. Można za to rozkładać na transpozycje liczb sąsiednich od razu całą permutację i wtedy najmniejsza ich liczba jest równa liczbie inwersji wyjściowej permutacji. Robi się to tak: w każdym kroku chwytamy najmniejszą liczbę w dolnym rzędzie, która nie jest na swoim miejscu (kolor czerwony), i przesuwamy ją tak, by się na nim znalazła, pchając wszystkie liczby po drodze o jedną pozycję w prawo (kolor niebieski). Taka operacja powoduje wyłączenie z prawej strony odpowiedniego cyklu (kolor zielony). Przykład:

\(\displaystyle{
\begin{align*}
\binom{\textcolor{limegreen}{1 \ 2 \ 3 \ 4} \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9}{\textcolor{blue}{2 \ 3 \ 9} \ \textcolor{red}{1} \ 5 \ 4 \ 8 \ 7 \ 6} & = \binom{\textcolor{limegreen}{1 \ 2 \ 3 \ 4} \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9}{\textcolor{red}{1} \ \textcolor{blue}{2 \ 3 \ 9} \ 5 \ 4 \ 8 \ 7 \ 6} (\textcolor{limegreen}{1 \ 2 \ 3 \ 4}) \\
\binom{1 \ 2 \ 3 \ \textcolor{limegreen}{4 \ 5 \ 6} \ 7 \ 8 \ 9}{1 \ 2 \ 3 \ \textcolor{blue}{9 \ 5} \ \textcolor{red}{4} \ 8 \ 7 \ 6} & = \binom{1 \ 2 \ 3 \ \textcolor{limegreen}{4 \ 5 \ 6} \ 7 \ 8 \ 9}{1 \ 2 \ 3 \ \textcolor{red}{4} \ \textcolor{blue}{9 \ 5} \ 8 \ 7 \ 6} (\textcolor{limegreen}{4 \ 5 \ 6}) \\
\binom{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ \textcolor{limegreen}{5 \ 6} \ 7 \ 8 \ 9}{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ \textcolor{blue}{9} \ \textcolor{red}{5} \ 8 \ 7 \ 6} & = \binom{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ \textcolor{limegreen}{5 \ 6} \ 7 \ 8 \ 9}{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ \textcolor{red}{5} \ \textcolor{blue}{9} \ 8 \ 7 \ 6} (\textcolor{limegreen}{5 \ 6}) \\
& \vdots \\
\binom{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ \textcolor{limegreen}{8 \ 9}}{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ \textcolor{blue}{9} \ \textcolor{red}{8}} & = \binom{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ \textcolor{limegreen}{8 \ 9}}{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ \textcolor{red}{8} \ \textcolor{blue}{9}}(\textcolor{limegreen}{8 \ 9}) \\[1ex]
\binom{1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9}{2 \ 3 \ 9 \ 1 \ 5 \ 4 \ 8 \ 7 \ 6} & = (8 \ 9) \ldots (5 \ 6)(4 \ 5 \ 6)(1 \ 2 \ 3 \ 4)
\end{align*}
}\)

Cykle zaś rozpisujemy zgodnie z regułą

\(\displaystyle{ (1 \ 2 \ 3 \ 4) = (1 \ 2)(2 \ 3)(3 \ 4)}\).