Ile liczb, których suma cyfr jest równa k

[Thingoln]

Witajcie. Natrafiłem na zadanie, które brzmiało mniej więcej:

Ile jest takich liczb 19-cyfrowych, których suma cyfr jest równa 5.

Da się to zrobić na piechotę, rozpatrując wszystkie możliwości, ale usłyszałem wtedy też, że istnieje pewien wzór na liczbę takich liczb (masło maślane ). Jeśli dobrze pamiętam, wyglądał tak: \(\displaystyle{ {n+k-2 \choose k-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest sumą cyfr, a \(\displaystyle{ k}\) liczbą cyfr danej liczby. Czy ktoś ma jakiś pomysł, jak dojść w szybszy sposób do rozwiązania takich zadań, np. poprzez udowodnienie tego wzoru (o ile oczywiście jest prawdziwy). Będę wdzięczny.

[kerajs]

Szukana ilość to także liczba rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ (x_1+1) +x_2+x_3....+x_{19}=5}\) w zbiorze cyfr. Na miejscu \(\displaystyle{ 10^{18}}\) jest liczba w nawiasie która nie może być zerem
Daje to:
\(\displaystyle{ {5-1+19-1 \choose 19-1} }\) liczb 19 cyfrowych.

Wyjaśnienie wzoru w (klik) podaje FasolkaBernoulliego oraz ja w post scriptum z 8 marca .

[Thingoln]

Przeczytałem, myślę, że rozumiem rozwiązanie. Zastanawiam się tylko, co gdy liczba po prawej stronie takiego równania jest większa od \(\displaystyle{ 10}\), np. gdy suma cyfr dziesięciocyfrowej liczby jest równa 19. Mamy wówczas równanie dla całkowitych naturalnych (wliczając zero) liczb \(\displaystyle{ x_1, x_2, \dots, x_{10}}\)
\(\displaystyle{ (x_1 + 1) + x_2 + x_3 + \dots + x_{10} = 19}\), jednak czy nie zliczamy wtedy także możliwości, gdy np. \(\displaystyle{ x_3}\) jest równe 10, co jest niemożliwe (bo to cyfra)?

[kerajs]

Nigdzie nie napisałem, że wzór jest poprawny dla dowolnej sumy cyfr . Pokazałem jedynie dlaczego dla sumy równej 5 liczbę liczb 19 cyfrowych można zapisać (i wyliczyć) współczynnikiem dwumianowym Newtona.

PS
Moim zdaniem, nie warto zawracać sobie głowy powyższym wzorkiem. Lepiej poćwiczyć znajdowanie ilości całkowitoliczbowych rozwiązań równań typu \(\displaystyle{ x_1+x_2+..+x_n=m}\), a wtedy takie wzorki sam będziesz wymyślał.

[Thingoln]

Tak też zrozumiałem, byłem jedynie ciekawy, czy można to w jakiś sposób rozwinąć, ale podejrzewam, że rozpatrywanie dowolnego przypadku byłoby w tym wypadku, o ile możliwe, czasochłonne. Skorzystam jednak z rady i rzeczywiście zostawię ten temat w spokoju, a zajmę się innymi, bardziej użytecznymi zagadnieniami (jak chociażby to równanie, które pojawia się zapewne dosyć często).
Zapomniałbym, bardzo dziękuję za całą pomoc w tym temacie. Wiele mi się rozjaśniło i przy okazji poznałem ciekawą metodę badania ilości rozwiązań takich równań.