4 zadania z kombinatoryki

[Terminator7]

Proszę o pomoc w zweryfikowaniu czy dobrze rozwiązałam poniższe zadania, a jeśli nie jak rozwiązać je poprawnie? Kombinatoryka niestety nie jest moją mocną stroną.
1)Grupa 22 osób zamierza utworzyć 2 drużyny, aby rozegrać mecz w piłkę nożną Na ile sposobów ˙
mogą się podzielić jeżeli:
a) pierwsza drużyna nazywa się ALFA druga BETA ˙- odp: \(\displaystyle{ {22\choose 11} \cdot 2 }\)
b) nie ma rozróżnienia na nazwy drużyn - odp \(\displaystyle{ {22 \choose 11} }\)

2)Rolnik ma 9 różnych odmian krzaków ziemniaków. Na ile sposobów 4 stonki mogą się ulokować
na krzakach, jeżeli:
a) stonki są rozróżnialne (np. mają imiona) ˙- odp: \(\displaystyle{ 9^{4} }\)
b) stonki nie są rozróżnialne -odp: \(\displaystyle{ {9\choose 4} }\)

3)Mamy 6 kanapek, które rozdzielamy między 10 studentów. Na ile sposobów możemy to zrobić? - odp: \(\displaystyle{ {10\choose 6} }\)

4)W kawiarni lody sprzedawane są na gałki. Jeżeli dostępnych jest 7 smaków: (Tego zadania nie umiem rozwiązać, prosiłabym o wytłumaczenie)
a) ile rożnych zestawów można skomponować, jeżeli smaki nie mogą się powtarzać? Zestaw ˙
możne mieć dowolną liczbę gałek (od jednej do dziesięciu)-
b) Jak zmieni się liczba możliwości, jeżeli kolejność nakładania jest dla nas ważna? ˙
c) Jak zmieni się liczba możliwości, jeżeli smaki mogą się powtarzać.

[kerajs]

1)Grupa 22 osób zamierza utworzyć 2 drużyny, aby rozegrać mecz w piłkę nożną Na ile sposobów ˙
mogą się podzielić jeżeli:
a) pierwsza drużyna nazywa się ALFA druga BETA ˙- odp: \(\displaystyle{ {22\choose 11} \cdot 2 }\)
b) nie ma rozróżnienia na nazwy drużyn - odp \(\displaystyle{ {22 \choose 11} }\)

a) \(\displaystyle{ {22\choose 11} }\)
b) \(\displaystyle{ \frac{{22\choose 11}}{2!} }\)

Rolnik ma 9 różnych odmian krzaków ziemniaków. Na ile sposobów 4 stonki mogą się ulokować
na krzakach, jeżeli:
a) stonki są rozróżnialne (np. mają imiona) ˙- odp: \(\displaystyle{ 9^{4} }\)
b) stonki nie są rozróżnialne -odp: \(\displaystyle{ {9\choose 4} }\)

Gdyby treść zadania byłaby taka:
Rolnik ma 9 krzaków różnych odmian ziemniaków. Na ile sposobów 4 stonki mogą się ulokować
na krzakach, ... to:
a) OK
b) Byłoby dobrze, gdyby każda stonka wybrała inny krzak. Sądzę że odpowiedź to:
\(\displaystyle{ {9 \choose 1}+ {9 \choose 1}{8 \choose 1} +{9 \choose 2}+{9 \choose 1}{8 \choose 2}+{9 \choose 4} }\)

3)Mamy 6 kanapek, które rozdzielamy między 10 studentów. Na ile sposobów możemy to zrobić? - odp: \(\displaystyle{ {10\choose 6} }\)

Tak, o ile kanapki są nierozróżnialne i jeden student może dostać najwyżej jedną kanapkę.
Gdy nie ma limitu otrzymanych kanapek, to można je rozdzielić na \(\displaystyle{ {6+10-1 \choose 10-1} }\) sposobów.

4)W kawiarni lody sprzedawane są na gałki. Jeżeli dostępnych jest 7 smaków: (Tego zadania nie umiem rozwiązać, prosiłabym o wytłumaczenie)
a) ile rożnych zestawów można skomponować, jeżeli smaki nie mogą się powtarzać? Zestaw ˙
możne mieć dowolną liczbę gałek (od jednej do dziesięciu)-
b) Jak zmieni się liczba możliwości, jeżeli kolejność nakładania jest dla nas ważna? ˙
c) Jak zmieni się liczba możliwości, jeżeli smaki mogą się powtarzać.

a) \(\displaystyle{ {7 \choose 1}+{7 \choose 2}+{7 \choose 3}+{7 \choose 4}+{7 \choose 5}+{7 \choose 6}+{7 \choose 7}}\)
b) smaki nie mogą się powtarzać:
\(\displaystyle{ 7+7 \cdot 6+7 \cdot 6 \cdot 5+7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4+7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3+7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2+7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)
smaki mogą się powtarzać:
\(\displaystyle{ 7+7 \cdot 7+7 \cdot 7 \cdot 7+7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7+7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7+....}\)
c) liczba deserów w których smaki mogą się powtarzać, ale kolejność nakładania gałek nie ma znaczenia:
\(\displaystyle{ {1+7-1 \choose 7-1}+ {2+7-1 \choose 7-1}+ {3+7-1 \choose 7-1}+ {4+7-1 \choose 7-1}+ {5+7-1 \choose 7-1}+ ....}\)

[Thingoln]

3)Mamy 6 kanapek, które rozdzielamy między 10 studentów. Na ile sposobów możemy to zrobić? - odp: \(\displaystyle{ {10\choose 6} }\)

Tak, o ile kanapki są nierozróżnialne i jeden student może dostać najwyżej jedną kanapkę.
Gdy nie ma limitu otrzymanych kanapek, to można je rozdzielić na \(\displaystyle{ {6+10-1 \choose 10-1} }\) sposobów.

W jaki sposób dojść do takiego wyniku, a w ogólności do tego wzoru (bo patrząc na pozostałe rozwiązania, również pojawia się taki schemat). Kojarzy mi się to z kombinacjami z powtórzeniami, ale tam wzorem jest \(\displaystyle{ {n+k -1 \choose k}}\). Sam myślałem w ten sposób (zakładając, że kanapki są rozróżnialne, studenci też oraz każdy może dostać dowolną ich ilość):
pierwsza kanapka „wybiera” jednego z 10 studentów, druga ponownie jednego z 10 itd. aż do szóstej. Trzeba następnie podzielić tę liczbę możliwości przez permutacje tych kanapek, a więc \(\displaystyle{ 6!}\), co daje łączę liczbę sposobów na ich rozdzielenie równą \(\displaystyle{ \frac{10^6}{6!}}\).
Byłbym wdzięczny za wskazanie błędu w tym rozumowaniu, bo sam wynik wychodzi niecałkowity, co już świadczy na niekorzyść tego podejścia.

[kerajs]

W jaki sposób dojść do takiego wyniku, a w ogólności do tego wzoru (bo patrząc na pozostałe rozwiązania, również pojawia się taki schemat). Kojarzy mi się to z kombinacjami z powtórzeniami, ale tam wzorem jest \(\displaystyle{ {n+k -1 \choose k}}\).

To dobre skojarzenie, lecz łatwiejsza do zrozumienia (klik) i używania jest równoważna forma: \(\displaystyle{ {n+k -1 \choose n-1}}\)

Wynika ona z własności symbolu Newtona:
\(\displaystyle{ {n+k -1 \choose k}={n+k -1 \choose (n+k -1)-k}={n+k -1 \choose n-1}}\)

Sam myślałem w ten sposób (zakładając, że kanapki są rozróżnialne, studenci też oraz każdy może dostać dowolną ich ilość):
pierwsza kanapka „wybiera” jednego z 10 studentów, druga ponownie jednego z 10 itd. aż do szóstej. Trzeba następnie podzielić tę liczbę możliwości przez permutacje tych kanapek, a więc \(\displaystyle{ 6!}\), co daje łączę liczbę sposobów na ich rozdzielenie równą \(\displaystyle{ \frac{10^6}{6!}}\).
Byłbym wdzięczny za wskazanie błędu w tym rozumowaniu, bo sam wynik wychodzi niecałkowity, co już świadczy na niekorzyść tego podejścia.

Wynik jest błędny gdyż podzielenie przez \(\displaystyle{ 6!}\) ma sens tylko dla sytuacji gdy kanapki trafiają do różnych studentów.
Przykład:
a) Wszystkie kanapki wybrały pierwszego studenta. To jest jedno zdarzenie (a nie 6! zdarzeń), niezależnie od kolejności kanapek.
b) Pierwszy i drugi student dostają po trzy kanapki. Tych zdarzeń jest \(\displaystyle{ {6 \choose 3} }\) więc podzielenie ich przez \(\displaystyle{ 6!}\) bynajmniej nie daje jednego zdarzenia.

[Thingoln]

Dziękuję, czyli skojarzenie nie okazało się aż tak chybione, chociaż wypadałoby zauważyć tę tożsamość symbolu Newtona. Teraz rozumiem