Proszę o pomoc w zweryfikowaniu czy dobrze rozwiązałam poniższe zadania, a jeśli nie jak rozwiązać je poprawnie? Kombinatoryka niestety nie jest moją mocną stroną.
1)Grupa 22 osób zamierza utworzyć 2 drużyny, aby rozegrać mecz w piłkę nożną Na ile sposobów ˙
mogą się podzielić jeżeli:
a) pierwsza drużyna nazywa się ALFA druga BETA ˙- odp: \(\displaystyle{ {22\choose 11} \cdot 2 }\)
b) nie ma rozróżnienia na nazwy drużyn - odp \(\displaystyle{ {22 \choose 11} }\)
2)Rolnik ma 9 różnych odmian krzaków ziemniaków. Na ile sposobów 4 stonki mogą się ulokować
na krzakach, jeżeli:
a) stonki są rozróżnialne (np. mają imiona) ˙- odp: \(\displaystyle{ 9^{4} }\)
b) stonki nie są rozróżnialne -odp: \(\displaystyle{ {9\choose 4} }\)
3)Mamy 6 kanapek, które rozdzielamy między 10 studentów. Na ile sposobów możemy to zrobić? - odp: \(\displaystyle{ {10\choose 6} }\)
4)W kawiarni lody sprzedawane są na gałki. Jeżeli dostępnych jest 7 smaków: (Tego zadania nie umiem rozwiązać, prosiłabym o wytłumaczenie)
a) ile rożnych zestawów można skomponować, jeżeli smaki nie mogą się powtarzać? Zestaw ˙
możne mieć dowolną liczbę gałek (od jednej do dziesięciu)-
b) Jak zmieni się liczba możliwości, jeżeli kolejność nakładania jest dla nas ważna? ˙
c) Jak zmieni się liczba możliwości, jeżeli smaki mogą się powtarzać.
4 zadania z kombinatoryki
-
- Użytkownik
- Posty: 31
- Rejestracja: 4 gru 2019, o 18:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 7 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: 4 zadania z kombinatoryki
a) \(\displaystyle{ {22\choose 11} }\)Terminator7 pisze: ↑7 mar 2020, o 19:22 1)Grupa 22 osób zamierza utworzyć 2 drużyny, aby rozegrać mecz w piłkę nożną Na ile sposobów ˙
mogą się podzielić jeżeli:
a) pierwsza drużyna nazywa się ALFA druga BETA ˙- odp: \(\displaystyle{ {22\choose 11} \cdot 2 }\)
b) nie ma rozróżnienia na nazwy drużyn - odp \(\displaystyle{ {22 \choose 11} }\)
b) \(\displaystyle{ \frac{{22\choose 11}}{2!} }\)
Gdyby treść zadania byłaby taka:Terminator7 pisze: ↑7 mar 2020, o 19:22 Rolnik ma 9 różnych odmian krzaków ziemniaków. Na ile sposobów 4 stonki mogą się ulokować
na krzakach, jeżeli:
a) stonki są rozróżnialne (np. mają imiona) ˙- odp: \(\displaystyle{ 9^{4} }\)
b) stonki nie są rozróżnialne -odp: \(\displaystyle{ {9\choose 4} }\)
Rolnik ma 9 krzaków różnych odmian ziemniaków. Na ile sposobów 4 stonki mogą się ulokować
na krzakach, ... to:
a) OK
b) Byłoby dobrze, gdyby każda stonka wybrała inny krzak. Sądzę że odpowiedź to:
\(\displaystyle{ {9 \choose 1}+ {9 \choose 1}{8 \choose 1} +{9 \choose 2}+{9 \choose 1}{8 \choose 2}+{9 \choose 4} }\)
Tak, o ile kanapki są nierozróżnialne i jeden student może dostać najwyżej jedną kanapkę.Terminator7 pisze: ↑7 mar 2020, o 19:22 3)Mamy 6 kanapek, które rozdzielamy między 10 studentów. Na ile sposobów możemy to zrobić? - odp: \(\displaystyle{ {10\choose 6} }\)
Gdy nie ma limitu otrzymanych kanapek, to można je rozdzielić na \(\displaystyle{ {6+10-1 \choose 10-1} }\) sposobów.
a) \(\displaystyle{ {7 \choose 1}+{7 \choose 2}+{7 \choose 3}+{7 \choose 4}+{7 \choose 5}+{7 \choose 6}+{7 \choose 7}}\)Terminator7 pisze: ↑7 mar 2020, o 19:22 4)W kawiarni lody sprzedawane są na gałki. Jeżeli dostępnych jest 7 smaków: (Tego zadania nie umiem rozwiązać, prosiłabym o wytłumaczenie)
a) ile rożnych zestawów można skomponować, jeżeli smaki nie mogą się powtarzać? Zestaw ˙
możne mieć dowolną liczbę gałek (od jednej do dziesięciu)-
b) Jak zmieni się liczba możliwości, jeżeli kolejność nakładania jest dla nas ważna? ˙
c) Jak zmieni się liczba możliwości, jeżeli smaki mogą się powtarzać.
b) smaki nie mogą się powtarzać:
\(\displaystyle{ 7+7 \cdot 6+7 \cdot 6 \cdot 5+7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4+7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3+7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2+7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)
smaki mogą się powtarzać:
\(\displaystyle{ 7+7 \cdot 7+7 \cdot 7 \cdot 7+7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7+7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7+....}\)
c) liczba deserów w których smaki mogą się powtarzać, ale kolejność nakładania gałek nie ma znaczenia:
\(\displaystyle{ {1+7-1 \choose 7-1}+ {2+7-1 \choose 7-1}+ {3+7-1 \choose 7-1}+ {4+7-1 \choose 7-1}+ {5+7-1 \choose 7-1}+ ....}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 52 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: 4 zadania z kombinatoryki
W jaki sposób dojść do takiego wyniku, a w ogólności do tego wzoru (bo patrząc na pozostałe rozwiązania, również pojawia się taki schemat). Kojarzy mi się to z kombinacjami z powtórzeniami, ale tam wzorem jest \(\displaystyle{ {n+k -1 \choose k}}\). Sam myślałem w ten sposób (zakładając, że kanapki są rozróżnialne, studenci też oraz każdy może dostać dowolną ich ilość):kerajs pisze: ↑7 mar 2020, o 21:44Tak, o ile kanapki są nierozróżnialne i jeden student może dostać najwyżej jedną kanapkę.Terminator7 pisze: ↑7 mar 2020, o 19:22 3)Mamy 6 kanapek, które rozdzielamy między 10 studentów. Na ile sposobów możemy to zrobić? - odp: \(\displaystyle{ {10\choose 6} }\)
Gdy nie ma limitu otrzymanych kanapek, to można je rozdzielić na \(\displaystyle{ {6+10-1 \choose 10-1} }\) sposobów.
pierwsza kanapka „wybiera” jednego z 10 studentów, druga ponownie jednego z 10 itd. aż do szóstej. Trzeba następnie podzielić tę liczbę możliwości przez permutacje tych kanapek, a więc \(\displaystyle{ 6!}\), co daje łączę liczbę sposobów na ich rozdzielenie równą \(\displaystyle{ \frac{10^6}{6!}}\).
Byłbym wdzięczny za wskazanie błędu w tym rozumowaniu, bo sam wynik wychodzi niecałkowity, co już świadczy na niekorzyść tego podejścia.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: 4 zadania z kombinatoryki
To dobre skojarzenie, lecz łatwiejsza do zrozumienia (klik) i używania jest równoważna forma: \(\displaystyle{ {n+k -1 \choose n-1}}\)
Wynika ona z własności symbolu Newtona:
\(\displaystyle{ {n+k -1 \choose k}={n+k -1 \choose (n+k -1)-k}={n+k -1 \choose n-1}}\)
Wynik jest błędny gdyż podzielenie przez \(\displaystyle{ 6!}\) ma sens tylko dla sytuacji gdy kanapki trafiają do różnych studentów.Thingoln pisze: ↑10 mar 2020, o 16:33
Sam myślałem w ten sposób (zakładając, że kanapki są rozróżnialne, studenci też oraz każdy może dostać dowolną ich ilość):
pierwsza kanapka „wybiera” jednego z 10 studentów, druga ponownie jednego z 10 itd. aż do szóstej. Trzeba następnie podzielić tę liczbę możliwości przez permutacje tych kanapek, a więc \(\displaystyle{ 6!}\), co daje łączę liczbę sposobów na ich rozdzielenie równą \(\displaystyle{ \frac{10^6}{6!}}\).
Byłbym wdzięczny za wskazanie błędu w tym rozumowaniu, bo sam wynik wychodzi niecałkowity, co już świadczy na niekorzyść tego podejścia.
Przykład:
a) Wszystkie kanapki wybrały pierwszego studenta. To jest jedno zdarzenie (a nie 6! zdarzeń), niezależnie od kolejności kanapek.
b) Pierwszy i drugi student dostają po trzy kanapki. Tych zdarzeń jest \(\displaystyle{ {6 \choose 3} }\) więc podzielenie ich przez \(\displaystyle{ 6!}\) bynajmniej nie daje jednego zdarzenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 27 lip 2019, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 52 razy
- Pomógł: 15 razy
Re: 4 zadania z kombinatoryki
Dziękuję, czyli skojarzenie nie okazało się aż tak chybione, chociaż wypadałoby zauważyć tę tożsamość symbolu Newtona. Teraz rozumiem