Mam zdefiniowany operator, który dokonuje permutacji czterech indeksów w następujący sposób:
\(\displaystyle{
\begin{align}
P^{abcd}_{ijkl}f^{abcd}_{ijkl} &=& f^{abcd}_{ijkl}+f^{abdc}_{ijlk}+f^{acbd}_{ikjl}+ f^{acdb}_{iklj} +f^{adbc}_{iljk}+f^{adcb}_{ilkj} \nonumber \\
&=& f^{bacd}_{jikl} + f^{badc}_{jilk}+f^{bcad}_{jkil}+f^{bcda}_{jkli}+f^{bdac}_{jlik}+f^{bdca}_{jlki} \nonumber \\
&=& f^{cabd}_{kijl} + f^{cadb}_{kilj} + f^{cbad}_{kjil} + f^{cbda}_{kjli} + f^{cdab}_{klij} + f^{cdba}_{klji} \nonumber \\
&=& f^{dabc}_{lijk} + f^{dacb}_{likj} + f^{dbac}_{ljik} + f^{dbca}_{ljki} + f^{dcab}_{lkij} + f^{dcba}_{lkji}. \nonumber
\end{align}
}\)
Analogicznie do powyższej definicji, chciałabym znaleźć wszystkie elementy permutacji \(\displaystyle{ P^{cdef}_{klmn}f^{cdfe}_{mnlk}}\), co uczynilam w następujący sposób:
\begin{align}
P^{cdef}_{klmn}f^{cdfe}_{mnlk} &=& f^{cdfe}_{mnlk}+f^{cdef}_{nmlk}+f^{cedf}_{nlmk}+ f^{cefd}_{lnmk} +f^{cfed}_{knml}+f^{cfde}_{knlm} \nonumber \\
&=& f^{fcde}_{nklm} + f^{fced}_{nkml}+f^{fecd}_{nmkl}+f^{fedc}_{nmlk}+f^{fdec}_{nlmk}+f^{fdce}_{nlkm} \nonumber \\
&=& f^{dfce}_{lnkm} + f^{dfec}_{lnmk} + f^{defc}_{lmnk} + f^{decf}_{lmkn} + f^{dcef}_{lkmn} + f^{dcfe}_{lknm} \nonumber \\
&=& f^{edfc}_{mlnk} + f^{edcf}_{nlmk} + f^{ecdf}_{nkml} + f^{ecfd}_{lkmn} + f^{efcd}_{lnmk} + f^{efdc}_{knml} \nonumber.
\end{align}
Czy jest to poprawne rozumowanie?