hipoteza jednostajności

[FasolkaBernoulliego]

Aha, jakoś nie zauważyłem tego HA, sorki. No ale wciąż jest to jakaś hipoteza o zależności między T(x) dla różnych x. Zaraz popatrzę jak zmienić.

Dodano po 9 minutach 18 sekundach:
Napiszesz jak mieliście podaną HA? Bo u mnie w notatkach to mam tylko dla całkowitych x, a to chyba nie wystarcza, no bo nie mamy zależności między \(\displaystyle{ p_{x+\alpha}}\) a \(\displaystyle{ p_x}\)

[pow3r]

Aha, jakoś nie zauważyłem tego HA, sorki. No ale wciąż jest to jakaś hipoteza o zależności między T(x) dla różnych x. Zaraz popatrzę jak zmienić.

Dodano po 9 minutach 18 sekundach:
Napiszesz jak mieliście podaną HA? Bo u mnie w notatkach to mam tylko dla całkowitych x.

\(\displaystyle{ P(Kx \ge k)=P(Ko \ge x+k|Ko \ge x)}\)
nie wiem czy to cos pomoże

[FasolkaBernoulliego]

No to ja mam tak samo, ale to jest dla całkowitych x i k. Wydaje mi się, że w takim razie z HA tego nie ruszysz, albo po prostu czegoś nie ogarniam. Może Pan Janusz wieczorem przyjdzie z pomocą.

[pow3r]

Bez hipotezy dotyczącej zależności rozkładów T(x) i T(y) nic nie zdziałasz, więc tutaj się zgodzę z Panem Januszem, że trzeba HUP zastosować, żeby do czegoś rozsądnego dojść. Dalej

\(\displaystyle{ _{\gamma}q_{x+\alpha} = 1 - _{\gamma}p_{x+\alpha} =(HUP)= 1 -\frac{_{\alpha + \gamma}p_x}{_{\alpha}p_x} = 1 -\frac{1 - \ _{\alpha + \gamma}q_x}{1 - \ _{\alpha}q_x} = \frac{1 - \ _{\alpha}q_x - 1 + \ _{\alpha + \gamma}q_x}{1 - \ _{\alpha}q_x} = (HU) = \frac{(\alpha + \gamma )q_x - \alpha q_x}{1 - \alpha q_x} = \frac{\gamma q_x}{1 - \alpha q_x} }\)

Na marginesie, HU mogliśmy użyć ze względu na to, że \(\displaystyle{ \alpha + \gamma \leq 1 }\) i \(\displaystyle{ x \in \mathbb{N}_0 }\), popatrz np. na przekształcenie u p. Janusza w linijce oznaczonej (2). Tak nie można korzystać z HU, bo ona mówi o liniowości na odcinkach pomiędzy kolejnymi liczbami całkowitymi \(\displaystyle{ [n, n+1] }\). pomiędzy punktami z dwóch róznych takich odcinków nie musi być liniowości.

zatem to będzie prawidłowe rozwiązanie ? ale trzeba uzyc HUP?

[FasolkaBernoulliego]

Może na wszelki wypadek sprawdź, czy jest prawidłowe. To może być albo HUP albo HJP - zależy czy angielska, czy polska literatura. Skoro Pan Janusz takie byki walnął, to tym bardziej mnie się mogło zdarzyć.

[pow3r]

Może na wszelki wypadek sprawdź, czy jest prawidłowe. To może być albo HUP albo HJP - zależy czy angielska, czy polska literatura. Skoro Pan Janusz takie byki walnął, to tym bardziej mnie się mogło zdarzyć.

nie bardzo rozumiem to drugie przejście

[FasolkaBernoulliego]

drugie, czyli to z wykorzystaniem HUP? Hipoteza jednorodnej populacji mówi, że prawdopodobieństwo przeżycia x-latka (t+s) czasu pod warunkiem przeżycia s czasu jest po prostu równe prawd. przeżycia (x+s)-latka t czasu.

Dodano po 8 minutach 58 sekundach:
Heh. Chyba coś nazmyślałem...

Dodano po 33 sekundach:
Też wieczorem do tego spojrzę jeszcze raz.

Dodano po 2 minutach 6 sekundach:
Nie zauważyłem tych nawiasów kwadratowych przy x. To HUP nie jest potrzebne.

[pow3r]

ale te nawiasy [] przy x bez konsekwencji możemy pominąć, z tego co pamiętam z wykładów

Dodano po 1 godzinie 33 minutach 15 sekundach:

drugie, czyli to z wykorzystaniem HUP? Hipoteza jednorodnej populacji mówi, że prawdopodobieństwo przeżycia x-latka (t+s) czasu pod warunkiem przeżycia s czasu jest po prostu równe prawd. przeżycia (x+s)-latka t czasu.

Dodano po 8 minutach 58 sekundach:
Heh. Chyba coś nazmyślałem...

Dodano po 33 sekundach:
Też wieczorem do tego spojrzę jeszcze raz.

Dodano po 2 minutach 6 sekundach:
Nie zauważyłem tych nawiasów kwadratowych przy x. To HUP nie jest potrzebne.

w takim razie jak należy rozwiązać przykład? mogę prosić o pomoc?

[FasolkaBernoulliego]

Tylko początek zmieniam:

\(\displaystyle{ _{\gamma}q_{[x]+\alpha} = 1 - _{\gamma}p_{[x]+\alpha} = 1 -\frac{_{\alpha + \gamma}p_x}{_{\alpha}p_x} = 1 -\frac{1 - \ _{\alpha + \gamma}q_x}{1 - \ _{\alpha}q_x} = \frac{1 - \ _{\alpha}q_x - 1 + \ _{\alpha + \gamma}q_x}{1 - \ _{\alpha}q_x} = (HU) = \frac{(\alpha + \gamma )q_x - \alpha q_x}{1 - \alpha q_x} = \frac{\gamma q_x}{1 - \alpha q_x} }\)

Teraz drugie przejście wynika wprost z określenia \(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x]+\alpha}}\). Znalazłem coś

Kod: Zaznacz cały

http://bieniek.umcs.lublin.pl/wp-content/uploads/2018/01/3ttz.pdf

, może się przyda? Opuścić można, ale jeśli założymy HJP, w ogólnym przypadku chyba nie? Nie znam się na tym aż tak dobrze (to znaczy prawie wcale) - inaczej bym zwrócił od razu uwagę na te nawiasiki.

[pow3r]

Tylko początek zmieniam:

\(\displaystyle{ _{\gamma}q_{[x]+\alpha} = 1 - _{\gamma}p_{[x]+\alpha} = 1 -\frac{_{\alpha + \gamma}p_x}{_{\alpha}p_x} = 1 -\frac{1 - \ _{\alpha + \gamma}q_x}{1 - \ _{\alpha}q_x} = \frac{1 - \ _{\alpha}q_x - 1 + \ _{\alpha + \gamma}q_x}{1 - \ _{\alpha}q_x} = (HU) = \frac{(\alpha + \gamma )q_x - \alpha q_x}{1 - \alpha q_x} = \frac{\gamma q_x}{1 - \alpha q_x} }\)

Teraz drugie przejście wynika wprost z określenia \(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x]+\alpha}}\). Znalazłem coś

Kod: Zaznacz cały

http://bieniek.umcs.lublin.pl/wp-content/uploads/2018/01/3ttz.pdf

, może się przyda? Opuścić można, ale jeśli założymy HJP, w ogólnym przypadku chyba nie? Nie znam się na tym aż tak dobrze (to znaczy prawie wcale) - inaczej bym zwrócił od razu uwagę na te nawiasiki.

rozumiem, teraz to ma jakiś sens

[janusz47]

Przejście
\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x] +\alpha} = \frac{_{\alpha +\gamma}p_{x}}{_{\alpha}p_{x}} }\) to zastosowanie HJP.

Na pewno jest rozwiązanie tego zadania tylko na podstawie HJ, wchodząc głębiej w interpolację liniową.

[FasolkaBernoulliego]

\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x] +\alpha} = \frac{_{\alpha +\gamma}p_{x}}{_{\alpha}p_{x}} }\) to zastosowanie HJP.

Nie, \(\displaystyle{ _{\gamma}p_{[x] +\alpha} }\) to, przynajmniej według podanego wyżej linku (s.16), prawdopodobieństwo, że osoba w wieku \(\displaystyle{ x}\) przeżyje \(\displaystyle{ \gamma}\) lat, pod warunkiem, że najpierw przeżyje \(\displaystyle{ \alpha}\) lat, czyli nie uwzględnia żadnej zależności wewnątrz struktury populacji - dotyczy tylko osób obecnie w wieku x. Gdybyśmy napisali
\(\displaystyle{ _{\gamma}p_{x +\alpha} = \frac{_{\alpha +\gamma}p_{x}}{_{\alpha}p_{x}} }\),
to byłoby to zastosowanie HJP, bo mielibyśmy zależność między prawdopodobieństwem przeżycia osób obecnie w wieku \(\displaystyle{ x+\alpha}\) i osób w wieku \(\displaystyle{ x}\). Też na początku nie zwróciłem na to uwagi.

[janusz47]

Uwzględnia jednorodność populacji.

[FasolkaBernoulliego]

Proszę rozwinąć tę myśl. Nie wykluczam, że się mylę, albo co innego rozumiemy przez HJP/HUP. Dla mnie ona mówi tyle, że osoba obecnie w wieku \(\displaystyle{ x}\), jeśli dożyje do wieku \(\displaystyle{ x + a}\), to ma takie samo prawdopodobieństwo, że przeżyje jeszcze \(\displaystyle{ b}\) lat, co osoba, która ma obecnie \(\displaystyle{ x + a}\) lat.

Czyli korzystając z tej hipotezy ignorujemy efekty, które mogły np. obecne pokolenie 40-latków uczynić bardziej długowiecznymi w stosunku do przyszłych 40-latków.

[janusz47]

\(\displaystyle{ _{\gamma}q_{[x]+\alpha}= _{\gamma}q_{x+\alpha} = 1 -_{\gamma}p_{[x]+\alpha} = 1 - Pr(\{T>\alpha +\gamma| T>\alpha\})}\) definicja prawdopodobieństwa warunkowego \(\displaystyle{ = 1 - \frac{Pr(\{T > \alpha +\gamma\})}{Pr(\{T> \alpha\})} = 1 - \frac{_{\alpha +\gamma}p_{x}}{_{\alpha}p_{x}} = }\) jak FasolkaBernoulliego

\(\displaystyle{ =1 - \frac{1 - _{\alpha+\gamma}q_{x}}{1 - _{\alpha}q_{x}} = \frac{_{\alpha +\gamma}q_{x} - _{\alpha}q_{x}}{1 -_{\alpha}q_{x}} = (HJ - interpolacja \ \ liniowa) = \frac{(1-\gamma)_{\alpha}q_{x} +\gamma _{\alpha+1}q_{x} - _{\alpha} q_{x}}{1 -\alpha q_{x}} = \frac{\gamma_{\alpha+1}q_{x} - \gamma_{\alpha}q_{x}}{1 -\alpha q_{x}} =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{\gamma \alpha q_{x} + \gamma q_{x} - \gamma \alpha q_{x}}{1- \alpha q_{x}} = \frac{\gamma q_{x}}{1 -\alpha q_{x}}. }\)