Czarne kwadraty w szachownicy czarno - białej

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3972
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 387 razy

Czarne kwadraty w szachownicy czarno - białej

Post autor: arek1357 » 19 lut 2020, o 12:45

Dana jest szachownica czarno - biała o rozmiarach:

\(\displaystyle{ m \times n}\) - m wierszy, n kolumn

W każdej kolumnie jest dokładnie \(\displaystyle{ a}\) czarnych pól, reszta białe. Oblicz ile może być czarnych prostokątów i na ile sposobów ułożonych w tej szachownicy...Jeżeli do układania prostokątów wybieramy \(\displaystyle{ i}\) czarnych kwadratów spośród \(\displaystyle{ a \cdot n , 1 \le i \le an}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7661
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3021 razy

Re: Czarne kwadraty w szachownicy czarno - białej

Post autor: kerajs » 19 lut 2020, o 16:46

Wybacz, ale nie rozumiem treści zadania. Nie wiem co dokładnie można zliczać, ani jak zamalowywać na czarno pola białej tablicy \(\displaystyle{ m \times n}\).

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3972
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 387 razy

Re: Czarne kwadraty w szachownicy czarno - białej

Post autor: arek1357 » 19 lut 2020, o 22:25

Może nie za fortunnie sformułowałem ale chodzi mi o to, ile można ułożyć czarnych prostokątów z czarnych kwadratów biorąc pod uwagę, że w każdej kolumnie jest ich dokładnie a...(czarnych kwadratów). Czarnr kwadraty możesz tak przesuwać, żeby wychodeziły z tego prostokąty, np gdy dasz u góry wszystkie czarne kwadraty wydzie z tego jeden duży prostokąt, który potem możesz zsuwać w dół...

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7661
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3021 razy

Re: Czarne kwadraty w szachownicy czarno - białej

Post autor: kerajs » 20 lut 2020, o 06:55

Ta nadal nic nie wyjaśnia, a wręcz wprowadza nowe niejasności.

1. Niech pola \(\displaystyle{ (p,q) ,(p, q+1), (p+1,q+1) ,(p+1, q+2) }\) będą czarne, a pola sąsiadujące z tym układem (bokiem lub wierzchołkiem) będą białe. Układ ten to:
a) 0
b) 2
c) 3
d) 7
prostokątów w zależności od sposobu liczenia. Który jest poprawny?

A ile prostokątów ma układ:
e) \(\displaystyle{ (p,q) ,(p, q+1), (p+1,q) ,(p+1,q+1) ,(p+1, q+2) }\)
f) \(\displaystyle{ (p,q) ,(p, q+1), (p, q+2),(p+1,q) ,(p+1,q+1) ,(p+1, q+2) }\)
g) \(\displaystyle{ (p,q) ,(p, q+1), (p+1,q+2) ,(p+1, q+3) }\)


2) Jasno określ jak zamalowywać na czarno pola białej tablicy gdyż (moim zdaniem) te fragmenty
arek1357 pisze:
19 lut 2020, o 12:45
Jeżeli do układania prostokątów wybieramy \(\displaystyle{ i}\) czarnych kwadratów spośród \(\displaystyle{ a \cdot n , 1 \le i \le an}\)
arek1357 pisze:
19 lut 2020, o 22:25
gdy dasz u góry wszystkie czarne kwadraty wydzie z tego jeden duży prostokąt, który potem możesz zsuwać w dół...
są ze sobą sprzeczne.

3)
arek1357 pisze:
19 lut 2020, o 12:45
Oblicz ile może być czarnych prostokątów i na ile sposobów ułożonych w tej szachownicy
Jak wyobrażasz sobie format odpowiedzi na to polecenie.


PS
Może wątpliwości znikną gdy przedstawisz rozwiązanie np: dla tablicy 5x6 i dla a=3.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3972
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 94 razy
Pomógł: 387 razy

Re: Czarne kwadraty w szachownicy czarno - białej

Post autor: arek1357 » 20 lut 2020, o 09:44

Zawsze pod pojęciem prostokąt rozumiem maksymalny prostokąt zawarty w układzie czarnych kwadratów...

Dodano po 2 minutach 43 sekundach:
Z tym i to może jak na razie przesadziłem liczmy prostokąty jako maksymalne w czarnych figurach...I na razie odstawmy do lamusa , z tym i to ja za daleko wybiegłem w sumie o coś inne mi chodziło ale nieważne po prostu liczmy czarne maksymalne prostokąty w czarnych figurach...

Dodano po 3 minutach 47 sekundach:
Np. dla\(\displaystyle{ m=n=2, a=1}\)
mamy w pierwszym układzie i w drugim po jednym prostokącie \(\displaystyle{ 2 \times 1}\)

Oraz w drugich układach bliźniaczych po dwa prostokąty (najmniejsze po dwa czarne kwadraty)

ODPOWIEDZ