Matematyka.pl

Dzień dobry,
Mam problem z rozwiązaniem poniższego zadania:
Ile jest rozwiązań \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + ... + x_{k} = n }\) w liczbach naturalnych
a) \(\displaystyle{ x_{i} \ge 0 }\)
b) \(\displaystyle{ x_{i} > i }\)

Odpowiedź do podpunktu a to \(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!} }\) ale nie wiem skąd się wzięło \(\displaystyle{ (n+k-1)! }\).
W podpunkcie b nie wiem czym jest \(\displaystyle{ i}\).

Bardzo proszę o podpowiedź.

a)
b) to znaczy: \(\displaystyle{ x_1>1\wedge x_2>2\wedge\cdots}\)

Pozdrawiam

Dziękuję za odpowiedź, przykład a jest dla mnie teraz jasny.
Z przykładem b mam niestety dalej problem.
Wywnioskowałam, że zależnie od wartości poszczególnych \(\displaystyle{ x_{i}}\) wartość równania może być \(\displaystyle{ \le n}\).
Wiem też że będzie \(\displaystyle{ k-1}\) elementowych kombinacji tylko nie wiem z jakiego zbioru.

Niech
\(\displaystyle{ x_1=1+a_1\wedge x_2=2+a_2\wedge\cdots \wedge x_k=k+a_k }\)

wtedy rozwiązania spełniające warunki równania b) spełnią
\(\displaystyle{ a_1 +a_2 +\cdots a_k= n-(1+2+\cdots +k)}\)

i dalej jak w a)

Pozdrawiam

Bardzo dziękuję za odpowiedź.
Ciężko mi uwierzyć że odpowiedź ma tak wyglądać.
\(\displaystyle{ \binom{n-\ (1+2+\ ...\ +\ k)\ -1\ }{k-1\ }}\)

Ponadto
\(\displaystyle{ 1+2+\cdots +k=\frac{1+k}{2}\cdot k}\)
oraz pod pewnymi założeniami...

Pozdrawiam