Na półce stoi 15 książek. Iloma sposobami można spośród nich wybrać 5 książek, tak aby nie brać żadnych dwóch stojących obok siebie?
Wydaje mi się, że to będzie \(\displaystyle{ \displaystyle{ {n-k+1}\choose{n-2k+1}}}\) czyli \(\displaystyle{ \displaystyle{ {11}\choose{6}}}\), prosiłbym o potwierdzenie
Mógłbym spytać, w jaki sposób dojść do tego wyniku? Rozpisałem sobie to zadanie w taki sposób:
mamy 5 książek na kolanach, a 10 innych stoi na półce. Te, które są na półce, oddzielamy od siebie w taki sposób, że między każde dwie można włożyć jedną książkę, tak samo na początku i końcu tego rzędu. Między książkami jest dokładnie 9 wolnych miejsc, a na początku i końcu dodatkowe dwa, łącznie 11. Mamy umieścić na półce 5 książek, które są na naszych kolanach, w dowolnym z tych 11 miejsc. Da się to zrobić na \(\displaystyle{ {11\choose 5}}\) sposobów.
Gdzie jest błąd?
Dodano po 49 minutach 20 sekundach:
Nie zauważyłem, że \(\displaystyle{ {11\choose 6} = {11\choose 5}}\) zgodnie z własnością \(\displaystyle{ {n\choose k} = {n\choose n-k}}\). Byłbym jednakże wdzięczny za wytłumaczenie rozwiązania autora.
Po wybraniu 4, książki 3 i 5 stoją obok siebie, jednak nie ma to znaczenia dla takiego wyboru 5 książek z 15, aby nie brać żadnych dwóch stojących obok siebie.
Thingoln pisze: ↑12 lut 2020, o 20:16
Mógłbym spytać, w jaki sposób dojść do tego wyniku?
Ponieważ autor tematu się nie pojawił, to postawię hipotezę.
Rozwiązanie \(\displaystyle{ {n-k+1 \choose n-2k+1} }\) to gotowiec do zapamiętania. Jest on zawsze poprawny gdyż: \(\displaystyle{ {n-k+1 \choose n-2k+1}= {n-k+1 \choose (n-k+1)-(n-2k+1)}={n-k+1 \choose k} }\)
Thingoln pisze: ↑12 lut 2020, o 20:16
Mógłbym spytać, w jaki sposób dojść do tego wyniku?
Ponieważ autor tematu się nie pojawił, to postawię hipotezę.
Rozwiązanie \(\displaystyle{ {n-k+1 \choose n-2k+1} }\) to gotowiec do zapamiętania. Jest on zawsze poprawny gdyż: \(\displaystyle{ {n-k+1 \choose n-2k+1}= {n-k+1 \choose (n-k+1)-(n-2k+1)}={n-k+1 \choose k} }\)
Dziękuję za odpowiedź. Rozumiem, że można wyprowadzić go podobnym schematem do mojego wyżej, ale zastanawiam się, czy jest jeszcze inny, „szybki” albo ciekawy sposób dojścia do niego? Warto zapoznać się z różnymi drogami.
Byłbym jednakże wdzięczny za wytłumaczenie rozwiązania autora. 
