Matematyka Dyskretna - n-ty wyraz ciągu

[1KAER1]

Witam!

Chciałbym się spytać, czy moje rozwiązanie zadania na znalezienie n-tego wyrazu ciągu jest prawidłowe. Rozwiązanie poniżej:

\(\displaystyle{
\begin{cases} a_{1} = -2 \\ a_{n} = (-3)^{ 2n+2 } \cdot \sqrt{2} \cdot a_{n-1} \end{cases}
}\)

\(\displaystyle{
a_{n-1} = (-3)^{2(n-1)+2} \cdot \sqrt{2} \cdot a_{n-2}
}\)

\(\displaystyle{
a_{n-1} = (-3)^{2n} \cdot \sqrt{2} \cdot a_{n-2}
}\)

\(\displaystyle{
a_{n-2} = (-3)^{2(n-2)+2} \cdot \sqrt{2} \cdot a_{n-3}
}\)

\(\displaystyle{
a_{n-1} = (-3)^{2n-2} \cdot \sqrt{2} \cdot a_{n-3}
}\)

\(\displaystyle{
a_{2} = (-3)^{6} \cdot \sqrt{2} \cdot a_{1} = (-3)^{6} \cdot \sqrt{2} \cdot (-2)
}\)

\(\displaystyle{
a_{n} = (-3)^{2n+2} \cdot \sqrt{2} \cdot (-3)^{2n} \cdot \sqrt{2} \cdot (-3)^{2n-2} \cdot \sqrt{2} \cdot ... \cdot (-3)^{6} \cdot \sqrt{2} \cdot (-2)
}\)

\(\displaystyle{
a_{n} = (-3)^{(2n+2)+2n+(2n-2)+...+6} \cdot \sqrt{2}^{(n-1)} \cdot (-2)
}\)

\(\displaystyle{
(2n+2)+2n+(2n-2)+...+6 = \frac{(2n+2)+6}{2} \cdot (n-1) = \frac{2n+8}{2} \cdot (n-1) = (n+4)(n-1)
}\)

\(\displaystyle{
a_{n} = (-3)^{(n+4)(n-1)} \cdot \sqrt{2}^{(n-1)} \cdot (-2)
}\)

[kerajs]

Wzór na \(\displaystyle{ a_n}\) jest prawidłowy.

Moim zdaniem, a jak wiesz może być ono zupełnie oderwane od rzeczywistości, wzór można odgadnąć już po policzeniu \(\displaystyle{ a_2}\) i \(\displaystyle{ a_3}\)

Ponadto w obliczeniach można było \(\displaystyle{ (-3)^{2n+2}}\) uprościć do \(\displaystyle{ 9^{n+1}}\)


PS
W piątej linijce pominąłeś jeden pierwiastek (lub niepotrzebnie go dopisałeś) przy przepisywaniu.

[1KAER1]

Dzięki za odpowiedź