Matematyka Dyskretna - Wyznaczanie wzoru na n-ty wyraz ciągu

[1KAER1]

Witam!

Mam problem z rozwiązaniem zadania z matematyki dyskretnej, a konkretnie z działu rekurencje. Mam wyznaczyć wzór na n-ty wyraz ciągu

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1} = 2 \\a_{n} = \frac{n-1}{n} * a_{n-1} \end{cases}}\)

Wyznaczyłem \(\displaystyle{ a _{n-1}}\), \(\displaystyle{ a _{3}}\) i \(\displaystyle{ a_{2}}\).

Niestety nie mam pojęcia jak taki wzór skleić w całość.

Byłbym bardzo wdzięczny o wyjaśnienie krok po kroku jak do tego podejść.

[kerajs]

Skoro policzyłeś kilka wyrazów ciągu to wiesz, że dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\) masz
\(\displaystyle{ an= \begin{cases} 2& \text{dla} & n=3k+1 \\ \frac{1}{2} & \text{dla} & n=3k+2 \\ -1& \text{dla} & n=3k \end{cases} }\)

[FasolkaBernoulliego]

Skoro policzyłeś kilka wyrazów ciągu to wiesz, że dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\) masz
\(\displaystyle{ an= \begin{cases} 2& \text{dla} & n=3k+1 \\ \frac{1}{2} & \text{dla} & n=3k+2 \\ -1& \text{dla} & n=3k \end{cases} }\)

Nie machnąłeś się? Chyba, że ta gwiazdka to znaczy co innego, niż mnożenie.

Dodano po 4 minutach 47 sekundach:
Rozpisz sobie po prostu część wzoru na \(\displaystyle{ a_n}\). Masz

\(\displaystyle{ a_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n-1} \cdot \ldots \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} a_1}\).

Potem skróć co się da i dostajesz wzór zwarty.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1} =2 \\ a_{n} = \left(1 -\frac{1}{n}\right) a_{n-1} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ a_{1} = 2}\)

\(\displaystyle{ a_{2} = \left( 1 -\frac{1}{2}\right)a_{1} = \left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot 2,}\)

\(\displaystyle{ a_{3} = \left( 1 -\frac{1}{3}\right) a_{2} = \left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot 2, }\)
...................................................................................................
\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 - \frac{1}{n}\right) a_{n-1} = \left(1 -\frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{1}{n-1}\right) .. \left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)\cdot 2 }\)

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n-1}\cdot ...\cdot \frac{3-1}{3}\cdot \frac{2-1}{2}\cdot \frac{2}{1} }\)

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{(n-1)!}{n!}\cdot 2 = \frac{2}{n}. }\)

[kerajs]

Czy się machnąłem? I tak, i nie. Tak, gdyż źle zapamiętałem równanie; a nie. gdyż to źle zapamiętane (\(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{a_n-1}{a_n}}\) ) rozwiązałem dobrze. W każdym razie przepraszam za zamieszanie.

[1KAER1]

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-2}{n-1}\cdot ...\cdot \frac{3-1}{3}\cdot \frac{2-1}{2}\cdot \frac{2}{1} }\)

\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{(n-1)!}{n!}\cdot 2 = \frac{2}{n}. }\)

Już w miarę rozumiem sens zadania, ale chciałbym jeszcze tylko poprosić o wytłumaczenie jak ten pierwszy zapis przekształcić w ten drugi. Mogły mi umknąć podstawowe przekształcenia, więc prosiłbym o wytłumaczenie jak dla kogoś kto nie ma pojęcia co się dzieje.

[janusz47]

Z definicji symbolu silni:

\(\displaystyle{ (n-1)! = 1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-2)\cdot (n-1) }\)

\(\displaystyle{ (n)! = 1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n }\)

\(\displaystyle{ \frac{(n-1)! }{n!}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-2)\cdot (n-1)}{1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n}\cdot 2 =\frac{2}{n}. }\)

[1KAER1]

Dzięki wielkie za wyjaśnienie!