Rozróżnialne urny i nierozróżnialne piłki

[Filippo9669]

Hej, mam takie zadanie:

1. Dane jest 5 urn oraz 20 nierozróżnialnych piłek. Prawdopodobieństwo każdego ułożenia piłek w urnach jest jednakowe. Znajdź prawdopodobieństwo, że w k-tej urnie znajdzie się co najmniej k piłek, k = 1,2,3,4,5

Urny rozróżnialne, piłki nie, a więc kombinacje z powtórzeniami. Będzie natomiast dużo pięcioelementowych ciągów, których sumy elementów dają 20. Jak najrozsądniej podejść do tego zadania?

[kerajs]

Wrzucam do każdej k-tej urny \(\displaystyle{ k-1}\) piłek, a resztę rozdzielam na pięć niezerowych części.

\(\displaystyle{ P=\frac { {20-(1+2+3+4)-1 \choose 5-1} }{{20+5-1 \choose 5-1}} }\)

[FasolkaBernoulliego]

Kerajs, wyjaśniłbyś rozwiązanie, bo nie ogarniam, a jestem ciekaw jak to liczysz, np. dlaczego akurat taki mianownik?

[kerajs]

Mianownik to liczba możliwych rozłożeń 20 piłek w 5 nierozróżnialnych urnach. To jednocześnie liczba rozwiązań równania
\(\displaystyle{ u_1+u_2+ u_3+ u_4+ u_5=20}\)
w liczbach naturalnych (dla mnie zero jest liczbą naturalną). Tu: Jak obliczyć prawdopodobieństwo wyjaśnienie, choć możliwe że jest ono zbędne.

Fragment:
Znajdź prawdopodobieństwo, że w k-tej urnie znajdzie się co najmniej k piłek, k = 1,2,3,4,5
interpretuję, iż chodzi o zdarzenia w których jednocześnie jest co najmniej jedna piłka w pierwszej urnie i co najmniej dwie piłki w urnie drugiej i ... i co najmniej pięć piłek w urnie piątej.
Wrzucanie piłek do urn (o którym wspominam w poprzednim poscie) to przyjęcie nowych niewiadomych
\(\displaystyle{ u_2=t_2+1 \ \ \wedge \ \ u_3=t_3+2 \ \ \wedge \ \ u_4=t_4+3 \ \ \wedge \ \ u_5=t_5+4 }\)
zamieniające równanie: \(\displaystyle{ u_1+u_2+ u_3+ u_4+ u_5=20}\)
w: \(\displaystyle{ u_1+t_2+1+ t_3+2+ t_4+3+ t_5+4=20}\)
Stad:
\(\displaystyle{ u_1+t_2+ t_3+ t_4+ t_5=20-(1+2+3+4)}\)
a ilość zdarzeń sprzyjających to liczba rozwiązań tego równania w liczbach naturalnych dodatnich.