Suriekcja funkcji wieloargumentowej

[pawqo]

Mam takie coś
\(\displaystyle{ f:\{0,1\} ^{4} \to\RR\\
f(x,y,z,t) = \{x+y+z+t, y+z+t, z+t, t\}}\)
Wydaje mi się że nie będzie to suriekcja
(mamy 16 kombinacji argumentów a tylko 14 możliwych wartości)
Bardzo bym prosił o wytłumaczenie jak się z takim cudem obchodzić

[a4karo]

Surjekcja skończonego zbioru na liczby rzeczywiste to dość karkołomny pomysł

[Jan Kraszewski]

I co to jest "funkcja wieloargumentowa"? Bo dla mnie w poniższym zapisie

\(\displaystyle{ f:\{0,1\} ^{4} \to\RR\\
f(x,y,z,t) = \{x+y+z+t, y+z+t, z+t, t\}}\)

pierwsza linijka nijak nie pasuje do drugiej.

JK

[pawqo]

I co to jest "funkcja wieloargumentowa"? Bo dla mnie w poniższym zapisie

\(\displaystyle{ f:\{0,1\} ^{4} \to\RR\\
f(x,y,z,t) = \{x+y+z+t, y+z+t, z+t, t\}}\)

pierwsza linijka nijak nie pasuje do drugiej.

JK

Pomyliłem się, powinno być
\(\displaystyle{ f: \{0,1\}^{4} \to \{0,1\}^{4}}\)

[Jan Kraszewski]

Następny post bez \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-a trafi do Kosza.

Pomyliłem się, powinno być
\(\displaystyle{ f: \{0,1\}^{4} \to \{0,1\}^{4}}\)

No to w takim razie użyłeś złych nawiasów. Powinno być

\(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = \left\langle x+y+z+t, y+z+t, z+t, t\right\rangle.}\)

Jeżeli chcesz uzasadnić, że to nie jest surjekcja, to wskaż czwórkę, która nie będzie wartością.

JK

[a4karo]

Pomyliłem się, powinno być
\(\displaystyle{ f: \{0,1\}^{4} \to \{0,1\}^{4}}\)

To też do luftu, bo czym jest `f(1,1,1,1)` ?

[Jan Kraszewski]

To też do luftu, bo czym jest `f(1,1,1,1)` ?

No to pewnie dodawanie jest modulo \(\displaystyle{ 2}\).

Może w końcu uda nam się ustalić treść zadania...

JK

[pawqo]

Dobra, ustalam treść:
\(\displaystyle{
f:\left\{ 0,1\right\} ^{4} \rightarrow \left\{ 0,1\right\} ^{4}
}\)
\(\displaystyle{
f(x,y,z,t) = (x+y+z+t, y+z+t, z+t, t)
}\)
a) czy iniekcja, suriekcja, bijekcja
b) jeśli bijekca, wzór funkcji odwrotnej
c) wyznaczyć \(\displaystyle{ f ^{2}( x, y, z, t)}\)
d) wyznaczyć najmniejszą \(\displaystyle{ n \in \NN}\) dla której zachodzi \(\displaystyle{ f ^{n} = id}\)

Jeśli dobrze rozumiem id to funkcja \(\displaystyle{ f^{1} }\)czyli w d) sprawdzamy, ile razy trzeba podnieść funkcję do potęgi żeby zatoczyć pełen obrót

[arek1357]

Wejdę w słowo otóż :

\(\displaystyle{ f(1,1,1,1)=(0,1,0,1)}\)

zapis winien być taki:

\(\displaystyle{ f:(\ZZ^4_{2},+)\ni(x,y,z,t) \mapsto (x+y+z+t,y+z+t,z+t,t) \in (\ZZ^4_{2},+)}\)

Dodano po 17 minutach 26 sekundach:
Jest na pewno suriekcją bo jeżeli weźmiesz dowolny element grupy:

\(\displaystyle{ (\ZZ_{2}^4,+) , x=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})}\)

to:

\(\displaystyle{ f(a_{1}-a_{2},a_{2}-a_{3},a_{3}-a_{4},a_{4})=x}\)

Zakładam , że jest to grupa z działaniem modulo dwa...

różnowartościowość też jest , sprawdzenie banalne...

Dodano po 4 minutach 30 sekundach:
\(\displaystyle{ ff(x,y,z,t)=(x+z,y+t,z,t)}\)

\(\displaystyle{ f^4(x,y,z,t)=id}\)

\(\displaystyle{ f^{-1}(x,y,z,t)=(x+y,y+z,z+t,t)}\)

Dodano po 4 minutach 14 sekundach:
proponuję ci sprawdź czy to jest homomorfizm a w konsekwencji automorfizm grupy...

Dodano po 5 godzinach 47 minutach 52 sekundach:
Można jeszcze szerzej , można patrzeć na to na kilka sposobów...:

\(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{2}^4,+)}\) - jest to grupa

\(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{2}^4,*,+)}\) - jest to pierścień z tylko jednym elementem odwracalnym:\(\displaystyle{ (1,1,1,1)}\) , reszta to dzielniki zera...

\(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{2}^4,\mathbb{Z}_{2},+, \cdot )}\) - jest to przestreń wektorowa nad ciałem \(\displaystyle{ (\mathbb{Z}_{2} , \cdot .+)}\)

A Twoje przekształcenie :

\(\displaystyle{ (x,y,z,t) \rightarrow (x+y+z+t,y+z+t,z+t,t)}\)

to przekształceniue liniowe , którego macierz przejścia to:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&1&1&1\\0&1&1&1\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ detA=1}\)

a więc można wywnioskować, że istnieje przekształcenie odwrotne do niego

Którego macierz to:

\(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix} 1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

Wniosek na prostym zadaniu można się nauczyć :grup, pierścieni , ciał i przestrzeni liniowych...

Konstruktor tego zadania to dobry profesor , niezwykły, nadzwyczajny...