Jaka jest liczba trójek liczb całkowitych

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
lola456
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 16 lis 2019, o 21:50
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 13 razy

Jaka jest liczba trójek liczb całkowitych

Post autor: lola456 » 17 sty 2020, o 12:41

Wyznacz funkcję tworzącą dla ciągu, którego n-tym wyrazem jest liczba trójek \(\displaystyle{ (x _{1}, x _{2} , x _{3}) }\)
liczb całkowitych nieujemnych takich że:
\(\displaystyle{ x _{1} + 2 \cdot x_{2} }\) \(\displaystyle{ + 5 \cdot x _{3} = n}\)

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + ...)(1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}...)(1 + \frac{x^5}{5!} + \frac{x ^{10} }{10!}...) }\)

Czy moje rozumowanie jest poprawne?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14521
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: Jaka jest liczba trójek liczb całkowitych

Post autor: Premislav » 17 sty 2020, o 15:02

Wyjaśnisz te silnie? Mnie one nie pasują, ponieważ już dla \(\displaystyle{ n=2}\) powinny Ci wyjść dwa rozwiązania, a mianowicie
\(\displaystyle{ (x_{1},x_{2}, x_{3})\in \left\{(2,0,0), (0,1,0)\right\}}\), podczas gdy po wymnożeniu tych szeregów wyraz po wyrazie widzimy, ze współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) równy jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}=1}\), a to niedobrze…
Wydaje mi się, że poprawna odpowiedź to
\(\displaystyle{ G(x)=\left(1+x+x^{2}+\ldots\right)\left(1+x^{2}+x^{4}+\ldots\right)\left(1+x^{5}+x^{10}+\ldots\right)=\frac{1}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)\left(1-x^{5}\right)}}\)
(oczywiście dla \(\displaystyle{ |x|<1}\)). Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{n}}\) to będzie
\(\displaystyle{ \text{#}\left\{(i,j,k)\in \NN\times\NN\times\NN: i+2j+5k=n\right\}}\), czyli chyba o to właśnie nam chodzi.

ODPOWIEDZ