Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
restarcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: restarcik » 15 sty 2020, o 16:53

Znajdź wzór jawny ciągu, którego funkcja tworząca to:

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x}{1-2x} + 5}\)

Próbowałem na wiele sposobów, ale żadnym nie byłem wstanie dojść do czegokolwiek :cry:
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8747
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1855 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: Dasio11 » 15 sty 2020, o 17:33

A czy widzisz, że szukanym ciągiem jest ciąg współczynników w rozwinięciu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w szereg Maclaurina?

restarcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: restarcik » 15 sty 2020, o 17:42

Dasio11 pisze:
15 sty 2020, o 17:33
A czy widzisz, że szukanym ciągiem jest ciąg współczynników w rozwinięciu funkcji \(\displaystyle{ f}\) w szereg Maclaurina?
Nie wiedziałem, ale mimo to nadal nie wiem jak to zrobić, nigdy nie robiliśmy żadnych zadań z tego typu szeregami

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8747
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1855 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: Dasio11 » 15 sty 2020, o 20:08

Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ \left< a_n \right>}\), to z definicji

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\),

a to znaczy, że prawa strona jest szeregiem Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Aby wyznaczyć to rozwinięcie, najpierw rozwiń ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), traktując go jak sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.

restarcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: restarcik » 15 sty 2020, o 20:47

Dasio11 pisze:
15 sty 2020, o 20:08
Jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ \left< a_n \right>}\), to z definicji

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n}\),

a to znaczy, że prawa strona jest szeregiem Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ f}\).

Aby wyznaczyć to rozwinięcie, najpierw rozwiń ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), traktując go jak sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.
Takie rzeczy to od razu przekształcaliśmy jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot(2x)^n}\), chociaż chyba już rozumiem jak to powinno być zrobione, jednak liczenie pochodnych z tego wydaje się drogą przez mękę, a zadanie "teoretycznie" powinno być dość krótkie.
Ostatnio zmieniony 15 sty 2020, o 23:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: od razu.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8747
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1855 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: Dasio11 » 15 sty 2020, o 23:09

restarcik pisze:
15 sty 2020, o 20:47
Takie rzeczy to odrazu przekształcaliśmy jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot(2x)^n}\)
To właśnie sposób, o którym piszę, bo równość

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n}\)

wynika wprost ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.

restarcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: restarcik » 15 sty 2020, o 23:12

Dasio11 pisze:
15 sty 2020, o 23:09
restarcik pisze:
15 sty 2020, o 20:47
Takie rzeczy to odrazu przekształcaliśmy jako \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} 1\cdot(2x)^n}\)
To właśnie sposób, o którym piszę, bo równość

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n}\)

wynika wprost ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego.
To wiem, natomiast nadal nie wiem, jak powinno być zrobione to zadanie, nie chodzi mi o odpowiedź, tylko krok po kroku jak to powinno wyglądać :/

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8747
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1855 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: Dasio11 » 15 sty 2020, o 23:33

Wyznaczyłeś już rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), a potrzebujesz wyznaczyć rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{3x}{1-2x} + 5}\). Masz jakiś pomysł, jak to zrobić?

restarcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: restarcik » 16 sty 2020, o 13:43

Dasio11 pisze:
15 sty 2020, o 23:33
Wyznaczyłeś już rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), a potrzebujesz wyznaczyć rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{3x}{1-2x} + 5}\). Masz jakiś pomysł, jak to zrobić?
ehhh, pisałem że PRÓBOWAŁEM ale nie potrafie bo cały czas mi wychodzą rzeczy z ktorymi nic nie potrafie zrobić, więc dlatego proszę tutaj żeby ktoś mi pokazał jak zrobić KONKRETNIE ten przykład, a nie jak rozwiązywać tego typu zadania :| (bo większość potrafie zrobić tylko z tym mam problem)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8747
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1855 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: Dasio11 » 16 sty 2020, o 16:13

restarcik pisze:
16 sty 2020, o 13:43
Dasio11 pisze:
15 sty 2020, o 23:33
Wyznaczyłeś już rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\), a potrzebujesz wyznaczyć rozwinięcie \(\displaystyle{ \frac{3x}{1-2x} + 5}\). Masz jakiś pomysł, jak to zrobić?
ehhh, pisałem że PRÓBOWAŁEM ale nie potrafie bo cały czas mi wychodzą rzeczy z ktorymi nic nie potrafie zrobić
Pisałeś o tym w odniesieniu do całego zadania, a sądziłem, że dojście do tego jaką operację należy wykonać, żeby przekształcić \(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}}\) w \(\displaystyle{ \frac{3x}{1-2x} + 5}\), nie sprawi Ci problemu. Ale jeśli sprawia, to proszę:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\frac{1}{1-2x} \phantom{ \: + \: 5} & = \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n \cdot x^n & \Big| \cdot 3x \\[1ex]
\frac{3x}{1-2x} \phantom{ \: + \: 5} & = \sum_{n=0}^{\infty} 3 \cdot 2^n \cdot x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot 2^{n-1} \cdot x^n & \Big| +5 \\[1ex]
\frac{3x}{1-2x}+5 & = 5 \cdot x^0 + \sum_{n=1}^{\infty} 3 \cdot 2^{n-1} \cdot x^n
\end{align*}}\)


czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją tworzącą ciągu

\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} 5 & \text{dla } n = 0 \\ 3 \cdot 2^{n-1} & \text{dla } n > 0 \end{cases}}\)

restarcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Znajdź wzór jawny ciągu - Funkcje tworzące

Post autor: restarcik » 16 sty 2020, o 17:09

Dasio11 pisze:
16 sty 2020, o 16:13
czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) jest funkcją tworzącą ciągu

\(\displaystyle{ a_n = \begin{cases} 5 & \text{dla } n = 0 \\ 3 \cdot 2^{n-1} & \text{dla } n > 0 \end{cases}}\)
oo i o to mi chodziło, nie wiedziałem co zrobić z tą 5'tką, a jednak okazało się że nie jest takie trudne jakie mi się wydawało :) Dziękuje!
Ostatnio zmieniony 16 sty 2020, o 18:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?

ODPOWIEDZ