\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k \cdot {n\choose k}=n \cdot 2^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} k \cdot {n\choose k}^2=\frac{n}{2} \cdot {2n\choose n}}\)
Mam spore problemy z tymi zadania, proszę o pomoc i dokładne objaśnienie
Udowodnij równości
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Udowodnij równości
Pierwsza:
zauważ, że \(\displaystyle{ k{n\choose k}=n{n-1\choose k-1}, \ n\ge k\ge 1}\), więc
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k{n\choose k}=n\sum_{k=1}^{n}{n-1\choose k-1}}\)
Druga:
oznacz tę sumę przez \(\displaystyle{ S}\) i zauważ, że
\(\displaystyle{ S=\sum_{k=0}^{n}(n-k){n\choose n-k}^{2}=\sum_{k=0}^{n}(n-k){n\choose k}^{2}}\),
więc
\(\displaystyle{ 2S=n\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^{2}}\)
A równość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^{2}={2n\choose n}}\)
jest bardzo znana, można to wykazać kombinatorycznie, wszak
\(\displaystyle{ {n\choose k}^{2}={n\choose k}{n\choose n-k}}\).
zauważ, że \(\displaystyle{ k{n\choose k}=n{n-1\choose k-1}, \ n\ge k\ge 1}\), więc
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k{n\choose k}=n\sum_{k=1}^{n}{n-1\choose k-1}}\)
Druga:
oznacz tę sumę przez \(\displaystyle{ S}\) i zauważ, że
\(\displaystyle{ S=\sum_{k=0}^{n}(n-k){n\choose n-k}^{2}=\sum_{k=0}^{n}(n-k){n\choose k}^{2}}\),
więc
\(\displaystyle{ 2S=n\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^{2}}\)
A równość
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}^{2}={2n\choose n}}\)
jest bardzo znana, można to wykazać kombinatorycznie, wszak
\(\displaystyle{ {n\choose k}^{2}={n\choose k}{n\choose n-k}}\).