Kombinacje oraz zliczanie
: 8 sty 2020, o 11:27
Witam,
prosiłbym o sprawdzenie czy poprawnie rozwiązałem dwa zadania.
1. Ile jest różnych uporządkowanych czwórek (a, b, c, d) liczb naturalnych
a) dodatnich,
b) z których dokładnie jedna jest równa 0,
takich, że \(\displaystyle{ a+b+c+d = 12 }\)
a) \(\displaystyle{ {4 + 8 - 1 \choose 8} }\) - skoro wszystkie liczby są dodatnie, to w każdym "koszyczku" musi się znaleźć przynajmniej jeden element. Resztę rozdzielamy względem tego co zostało.
b) \(\displaystyle{ {3 + 9 - 1 \choose 9} \cdot 4 }\) - jedna z liczb jest zerowa, liczb jest łącznie 4. A więc liczbę kombinacji musimy dodatkowo pomnożyć przez 4
2. Ile jest różnych 10-elementowych ciągów
a) o wyrazach tworzących zbiór 3-elementowy
b) ternarnych, w których występuje: 5 liter a, 3 litery b i 2 litery c
a) \(\displaystyle{ 3^{10} }\) - ponieważ każdemu z argumentów możemy przypisać jedną z 3 wartości
b) tutaj mam wątpliwość, więc prosiłbym o szczególną uwagę oraz wyjaśnienie łopatologiczne jeśli popełniłem błąd
\(\displaystyle{ {10 \choose 5} \cdot {5 \choose 3} \cdot {2 \choose 2} }\)
Dlaczego tak? Na początek pierwsze 5 liter A ustawiamy w dowolnej kolejności pośród wszystkich dostępnych miejsc. Następnie 3 litery B ustawiamy pośród pozostałych wolnych miejsc, których jest teraz już tylko 5 (bo odpadło 5 miejsc zarezerwowanych dla A). I na końcu pozostaje nam C, które może wpaść już tylko w pozostałe dwa wolne sloty.
prosiłbym o sprawdzenie czy poprawnie rozwiązałem dwa zadania.
1. Ile jest różnych uporządkowanych czwórek (a, b, c, d) liczb naturalnych
a) dodatnich,
b) z których dokładnie jedna jest równa 0,
takich, że \(\displaystyle{ a+b+c+d = 12 }\)
a) \(\displaystyle{ {4 + 8 - 1 \choose 8} }\) - skoro wszystkie liczby są dodatnie, to w każdym "koszyczku" musi się znaleźć przynajmniej jeden element. Resztę rozdzielamy względem tego co zostało.
b) \(\displaystyle{ {3 + 9 - 1 \choose 9} \cdot 4 }\) - jedna z liczb jest zerowa, liczb jest łącznie 4. A więc liczbę kombinacji musimy dodatkowo pomnożyć przez 4
2. Ile jest różnych 10-elementowych ciągów
a) o wyrazach tworzących zbiór 3-elementowy
b) ternarnych, w których występuje: 5 liter a, 3 litery b i 2 litery c
a) \(\displaystyle{ 3^{10} }\) - ponieważ każdemu z argumentów możemy przypisać jedną z 3 wartości
b) tutaj mam wątpliwość, więc prosiłbym o szczególną uwagę oraz wyjaśnienie łopatologiczne jeśli popełniłem błąd
\(\displaystyle{ {10 \choose 5} \cdot {5 \choose 3} \cdot {2 \choose 2} }\)
Dlaczego tak? Na początek pierwsze 5 liter A ustawiamy w dowolnej kolejności pośród wszystkich dostępnych miejsc. Następnie 3 litery B ustawiamy pośród pozostałych wolnych miejsc, których jest teraz już tylko 5 (bo odpadło 5 miejsc zarezerwowanych dla A). I na końcu pozostaje nam C, które może wpaść już tylko w pozostałe dwa wolne sloty.