Kombinacje oraz zliczanie

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Sakurzasty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Kombinacje oraz zliczanie

Post autor: Sakurzasty » 8 sty 2020, o 11:27

Witam,

prosiłbym o sprawdzenie czy poprawnie rozwiązałem dwa zadania.

1. Ile jest różnych uporządkowanych czwórek (a, b, c, d) liczb naturalnych
a) dodatnich,
b) z których dokładnie jedna jest równa 0,
takich, że \(\displaystyle{ a+b+c+d = 12 }\)

a) \(\displaystyle{ {4 + 8 - 1 \choose 8} }\) - skoro wszystkie liczby są dodatnie, to w każdym "koszyczku" musi się znaleźć przynajmniej jeden element. Resztę rozdzielamy względem tego co zostało.
b) \(\displaystyle{ {3 + 9 - 1 \choose 9} \cdot 4 }\) - jedna z liczb jest zerowa, liczb jest łącznie 4. A więc liczbę kombinacji musimy dodatkowo pomnożyć przez 4


2. Ile jest różnych 10-elementowych ciągów
a) o wyrazach tworzących zbiór 3-elementowy
b) ternarnych, w których występuje: 5 liter a, 3 litery b i 2 litery c

a) \(\displaystyle{ 3^{10} }\) - ponieważ każdemu z argumentów możemy przypisać jedną z 3 wartości

b) tutaj mam wątpliwość, więc prosiłbym o szczególną uwagę oraz wyjaśnienie łopatologiczne jeśli popełniłem błąd :wink:
\(\displaystyle{ {10 \choose 5} \cdot {5 \choose 3} \cdot {2 \choose 2} }\)

Dlaczego tak? Na początek pierwsze 5 liter A ustawiamy w dowolnej kolejności pośród wszystkich dostępnych miejsc. Następnie 3 litery B ustawiamy pośród pozostałych wolnych miejsc, których jest teraz już tylko 5 (bo odpadło 5 miejsc zarezerwowanych dla A). I na końcu pozostaje nam C, które może wpaść już tylko w pozostałe dwa wolne sloty.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14521
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: Kombinacje oraz zliczanie

Post autor: Premislav » 8 sty 2020, o 12:37

Pierwsze masz niestety źle, gdyż Twoje rozwiązanie działa w nieujemnych, ale tu mamy dodatnie.

a) Rozpiszmy sobie \(\displaystyle{ 12=\overbrace{1+1+\ldots+1}^{12}}\). Pomiędzy tymi jedynkami jest jedenaście miejsc, w których możemy postawić nawias zamykający i wystarczy postawić trzy nawiasy zamykające, by rozdzielić na cztery niezerowe grupy, bowiem jedynki składające się na ostatnią liczbę będą występować po ostatnim nawiasie zamykającym. Zatem możliwości jest \(\displaystyle{ {11\choose 3}}\) – wybieramy trzy spośród jedenastu przerw, w które wstawimy nawiasy zamykające.
b) Najpierw na \(\displaystyle{ 4}\) sposoby wybieramy liczbę, która będzie równa zeru, a dalej na \(\displaystyle{ {11\choose 2}}\) sposobów przedstawiamy liczbę \(\displaystyle{ 12}\) w postaci sumy trzech uporządkowanych całkowitych dodatnich składników (rozumowanie jak poprzednio).

Sakurzasty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Kombinacje oraz zliczanie

Post autor: Sakurzasty » 8 sty 2020, o 12:47

Cześć,
Dziękuję za odpowiedź :)

Co do pierwszego w punkcie
A) Czy mój wynik nie jest identyczny? \(\displaystyle{ {11 \choose 8} }\) zdaje się wynosi tyle samo co \(\displaystyle{ {11 \choose 3} }\)
B) Jak powyżej \(\displaystyle{ {11 \choose 9}}\) nie jest tym samym co \(\displaystyle{ {11 \choose 2} }\) ?

Oczywiście mogę się mylić :(

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14521
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 4783 razy

Re: Kombinacje oraz zliczanie

Post autor: Premislav » 8 sty 2020, o 13:03

A rzeczywiście, jaka beka ze mnie. xD Jest dobrze.

Dodano po 4 minutach 27 sekundach:
Drugie zadanie też jest poprawnie rozwiązane.

Sakurzasty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Kombinacje oraz zliczanie

Post autor: Sakurzasty » 8 sty 2020, o 13:18

Dziękuję :)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3836
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 378 razy

Re: Kombinacje oraz zliczanie

Post autor: arek1357 » 8 sty 2020, o 14:32

2a. o wyrazach tworzących zbiór 3-elementowy
Jeżeli każdy wyraz ciągu ma mieć elementy trzy to ta odpowiedź będzie zła i powinny być suriekcje...

Dodano po 6 minutach 6 sekundach:
Drugie jest ok ale warto dodać co do drugiego b , że to permutacje z powtórzeniami tak naprawdę...

Dodano po 3 minutach 23 sekundach:
ile jest różnych uporządkowanych czwórek
nie podoba mi się to bo słowo uporządkowane może mieć wielorakie znaczenie , więc interpretacja może być szeroka...

Sakurzasty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 19 lis 2018, o 13:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy

Re: Kombinacje oraz zliczanie

Post autor: Sakurzasty » 8 sty 2020, o 15:18

Rozumiem.

W 2 zadaniu w punkcie a) zakładałem że wpisujemy się W zbiór 3-elementowy. Dlatego też użyłem tutaj permutacji.

Pozostaje mi zatem konsultacja z prowadzącym o wytłumaczenie czy NA czy W :|

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3836
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 378 razy

Re: Kombinacje oraz zliczanie

Post autor: arek1357 » 8 sty 2020, o 16:47

Dokładnie||| bo każdy wariant może i nie musi być poprawny...

ODPOWIEDZ