Trzy zadania z metody niezmienników, musztari

[Hg34tY1]

Witam, na początek zaznaczę, że nie byłem pewien gdzie umieścić ten post, mam nadzieję, że to jest dobre miejsce.

1. Czy z tabeli (a) można otrzymać tabelę (b) przez kilkakrotne zastosowanie operacji zmiany wszystkich znaków na przeciwne w dowolny wierszu lub kolumnie?

\(\displaystyle{ (a\begin{array}{ccc}
+1 & -1 & +1 \\
-1 & +1 & -1\\
+1 & -1 & +1 \\
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ (b\begin{array}{ccc}
+1 & +1 & +1 \\
+1 & -1 & +1\\
+1 & +1 & +1 \\
\end{array}}\)

Podczas robienia, tego zadania doprowadziłem tabelę \(\displaystyle{ (a}\) do takiego stanu, że wszystkie kolumny i rzędy były z samych plusów i potem za niezmiennik przyjąłem iloczyn każdej kolumny i wiersza osobno za niezmiennik chodzi o to, że naraz iloczyn każdego wyrazu w każdej kolumnie i wierszu jest dodatni.

2. Czy z tabeli (a) można otrzymać tabelę (b) przez kilkakrotne zastosowanie operacji zmiany wszystkich znaków na przeciwne w dowolny wierszu dowolnej kolumnie lub dowolnej przekątnej tabeli (uwaga: przekątnych jest 14)?

\(\displaystyle{ (a\begin{array}{ccc}
+1 & -1 & +1 & +1 \\
+1 & +1 & +1 & +1 \\
+1 & +1 & +1 & +1 \\
+1 & +1 & +1& +1 \\
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ (b\begin{array}{ccc}
+1 & +1 & +1 & +1 \\
+1 & -1 & +1 & +1 \\
+1 & +1 & +1 & +1 \\
+1 & +1 & +1& +1 \\
\end{array}}\)


Tu już całkiem nie wiem jak podejść do problemu. Tak wiem, że jest podpwiedź, ale jej nie rozumiem ;p

3. W tabeli zwierającej 15 liczb (-1) możemu zmienić jednocześnie znak trzech liczb. Czy stosując tę operację parzystąliczbę razy można otrzymać liczbę złożoną z samych (+1)?

To zadanie właściwie rozwiązałem i chciałem zapytać się tylko o poprawność rozwiązania.
Podzieliłem sobie te liczby na pięc grupy po trzy \(\displaystyle{ (-1)}\) następnie zadeklarowałem dwie liczby \(\displaystyle{ (-1)^a}\) i \(\displaystyle{ (-1)^b}\) ten pierwszy to iloczyn liczb zamienionych, a drugi niezamienionych i stąd widać, że żeby iloczyn tych liczb był równy \(\displaystyle{ +1}\) to \(\displaystyle{ (-1)^a \cdot (-1)^b}\) zarówno \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) musiało by być parzyste, a tak być nie może.

[Dasio11]

Podczas robienia, tego zadania doprowadziłem tabelę \(\displaystyle{ (a}\) do takiego stanu, że wszystkie kolumny i rzędy były z samych plusów i potem za niezmiennik przyjąłem iloczyn każdej kolumny i wiersza osobno za niezmiennik chodzi o to, że naraz iloczyn każdego wyrazu w każdej kolumnie i wierszu jest dodatni.

Nie jest jasne, czym jest Twój niezmiennik. Co to jest "iloczyn każdej kolumny i wiersza osobno"?

Tu już całkiem nie wiem jak podejść do problemu. Tak wiem, że jest podpwiedź, ale jej nie rozumiem ;p

Bo to nie jest podpowiedź, tylko wyjaśnienie co rozumie się przez przekątną. Mianowicie: jeśli przez którykolwiek element tabeli poprowadzisz linię pod kątem \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\) do poziomu, niekoniecznie łączącą przeciwległe wierzchołki tabeli - to jest to przekątna.

Wskazówka: spróbuj znaleźć taki podzbiór zbioru wszystkich elementów tabeli, że iloczyn elementów w tym podzbiorze nie zmienia się przy odwróceniu dowolnej kolumny, wiersza i przekątnej.

Podzieliłem sobie te liczby na pięc grupy po trzy \(\displaystyle{ (-1)}\) następnie zadeklarowałem dwie liczby \(\displaystyle{ (-1)^a}\) i \(\displaystyle{ (-1)^b}\) ten pierwszy to iloczyn liczb zamienionych, a drugi niezamienionych i stąd widać, że żeby iloczyn tych liczb był równy \(\displaystyle{ +1}\) to \(\displaystyle{ (-1)^a \cdot (-1)^b}\) zarówno \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) musiało by być parzyste, a tak być nie może.

Nie rozumiem: jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą elementów, które w ostatecznym rachunku zostały zamienione, to ich iloczyn po zamianie będzie wynosił \(\displaystyle{ (+1)^a}\), nie zaś \(\displaystyle{ (-1)^a}\). A jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest czymś innym, to nie wiem czym.

[Hg34tY1]

Sorka, byłem wtedy śpiący i rzeczywiście wyraziłem się niejasno

1.

Podczas robienia, tego zadania doprowadziłem tabelę \(\displaystyle{ (a}\) do takiego stanu, że wszystkie kolumny i rzędy były z samych plusów i potem za niezmiennik przyjąłem iloczyn każdej kolumny i wiersza osobno za niezmiennik chodzi o to, że naraz iloczyn każdego wyrazu w każdej kolumnie i wierszu jest dodatni.

Nie jest jasne, czym jest Twój niezmiennik. Co to jest "iloczyn każdej kolumny i wiersza osobno"?

Może tak. Niezmiennikiem jest liczba \(\displaystyle{ (-1)^a}\) to iloczyn pierwszego, drugiego i trzeciego wiersza(od góry) oraz pierwszej drugiej i trzeciej kolumny(od góry).
Np. tu:

\(\displaystyle{ (a\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & +1 \\
+1 & +1 & +1\\
+1 & +1 & +1 \\
\end{array}}\)

pierwszy wiersz to \(\displaystyle{ +1}\)
drugi wiersz to \(\displaystyle{ +1}\)
trzeci wiersz to \(\displaystyle{ +1}\)
pierwsza kolumna to \(\displaystyle{ -1}\)
druga kolumna to \(\displaystyle{ -1}\)
trzecia kolumna to \(\displaystyle{ +1}\)
czyli iloczyn wynosi \(\displaystyle{ (-1)^4}\)

2.

Tu już całkiem nie wiem jak podejść do problemu. Tak wiem, że jest podpwiedź, ale jej nie rozumiem ;p

Bo to nie jest podpowiedź, tylko wyjaśnienie co rozumie się przez przekątną. Mianowicie: jeśli przez którykolwiek element tabeli poprowadzisz linię pod kątem \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\) do poziomu, niekoniecznie łączącą przeciwległe wierzchołki tabeli - to jest to przekątna.

Tak wiem. Nie napisałem treści tej wskazówki, która brzmi:
Niech a oznacza liczbę minusów w częsci tabeli złożonej z 8 elementów położonych parami na środkach 1 i 4 wiersza oraz 1 i 4 kolumny. Niezmiennikiem jest liczba \(\displaystyle{ (-1)^a}\). Wydaje mi się niezbyt jasna ta wskazówka.

3.

Podzieliłem sobie te liczby na pięc grupy po trzy \(\displaystyle{ (-1)}\) następnie zadeklarowałem dwie liczby \(\displaystyle{ (-1)^a}\) i \(\displaystyle{ (-1)^b}\) ten pierwszy to iloczyn liczb zamienionych, a drugi niezamienionych i stąd widać, że żeby iloczyn tych liczb był równy \(\displaystyle{ +1}\) to \(\displaystyle{ (-1)^a \cdot (-1)^b}\) zarówno \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) musiało by być parzyste, a tak być nie może.

Nie rozumiem: jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą elementów, które w ostatecznym rachunku zostały zamienione, to ich iloczyn po zamianie będzie wynosił \(\displaystyle{ (+1)^a}\), nie zaś \(\displaystyle{ (-1)^a}\). A jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest czymś innym, to nie wiem czym.

\(\displaystyle{ a}\) zamienione \(\displaystyle{ b}\) niezamienione grupy liczb na przeciwne znaki. Tabela składa się z piętnastu minusów, czyli można ją podzielić na pięć grup po 3 minusy w każdej. za minusa przyjmę \(\displaystyle{ (-1)}\), czyli mamy piętnaście minus jedynek podzielonych na pięć grup po trzy minus jedynki w każdej grupie. Rozważmy iloczyn \(\displaystyle{ (-1)^a \cdot (-1)^b}\). Widać, że aby oba iloczyny były dodatnie to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) muszą być parzyste, co jest niemożliwe bo \(\displaystyle{ a + b = 5 }\)

[Dasio11]

1. Zauważ, że opisana przez Ciebie liczba jest w istocie kwadratem iloczynu wszystkich elementów w tabeli, a to jest równe \(\displaystyle{ +1}\) bez względu na to, jakie liczby (plus czy minus jedynki) są w tabeli. Jest to oczywiście poprawny, ale bezużyteczny niezmiennik, bo nie można za jego pomocą odróżnić żadnych dwóch tabelek.

Niech a oznacza liczbę minusów w częsci tabeli złożonej z 8 elementów położonych parami na środkach 1 i 4 wiersza oraz 1 i 4 kolumny. Niezmiennikiem jest liczba \(\displaystyle{ (-1)^a}\). Wydaje mi się niezbyt jasna ta wskazówka.

Innymi słowy, niezmiennikiem jest iloczyn liczb zaznaczonych na czerwono:

\(\displaystyle{ \begin{array}{cccc}
+1 & \color{red}{-1} & \color{red}{+1} & +1 \\
\color{red}{+1} & +1 & +1 & \color{red}{+1} \\
\color{red}{+1} & +1 & +1 & \color{red}{+1} \\
+1 & \color{red}{+1} & \color{red}{+1} & +1 \\
\end{array}}\)

Powinieneś teraz sprawdzić, że rzeczywiście jest to niezmiennik (czyli jego wartość nie zmienia się po odwróceniu dowolnego wiersza, kolumny i przekątnej) oraz że jego wartości są różne dla obu tabel.

\(\displaystyle{ a}\) zamienione \(\displaystyle{ b}\) niezamienione grupy liczb na przeciwne znaki. Tabela składa się z piętnastu minusów, czyli można ją podzielić na pięć grup po 3 minusy w każdej. za minusa przyjmę \(\displaystyle{ (-1)}\), czyli mamy piętnaście minus jedynek podzielonych na pięć grup po trzy minus jedynki w każdej grupie. Rozważmy iloczyn \(\displaystyle{ (-1)^a \cdot (-1)^b}\). Widać, że aby oba iloczyny były dodatnie to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) muszą być parzyste, co jest niemożliwe bo \(\displaystyle{ a + b = 5 }\)

Jeśli podzielisz w jakikolwiek sposób piętnaście liczb na pięć grup po trzy liczby, to dozwoloną operacją jest nie tylko odwrócenie wszystkich liczb we wskazanej grupie, ale też odwrócenie trzech liczb z trzech różnych grup. Wobec tego dla danej grupy nie zawsze można określić, czy została odwrócona czy też nie, bo jak to zrobić w sytuacji, gdy odwrócone są dokładnie dwie liczby z tej grupy?

Na przykład:

\(\displaystyle{ \underbrace{-1 \quad \textcolor{red}{-1} \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{\textcolor{red}{-1} \quad -1 \quad \textcolor{red}{-1}}_{-1} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1}}\)

można zamienić na

\(\displaystyle{ \underbrace{-1 \quad +1 \quad -1}_{?} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{+1 \quad -1 \quad +1}_{?} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1}}\)

[Hg34tY1]

\(\displaystyle{ a}\) zamienione \(\displaystyle{ b}\) niezamienione grupy liczb na przeciwne znaki. Tabela składa się z piętnastu minusów, czyli można ją podzielić na pięć grup po 3 minusy w każdej. za minusa przyjmę \(\displaystyle{ (-1)}\), czyli mamy piętnaście minus jedynek podzielonych na pięć grup po trzy minus jedynki w każdej grupie. Rozważmy iloczyn \(\displaystyle{ (-1)^a \cdot (-1)^b}\). Widać, że aby oba iloczyny były dodatnie to \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) muszą być parzyste, co jest niemożliwe bo \(\displaystyle{ a + b = 5 }\)

Jeśli podzielisz w jakikolwiek sposób piętnaście liczb na pięć grup po trzy liczby, to dozwoloną operacją jest nie tylko odwrócenie wszystkich liczb we wskazanej grupie, ale też odwrócenie trzech liczb z trzech różnych grup. Wobec tego dla danej grupy nie zawsze można określić, czy została odwrócona czy też nie, bo jak to zrobić w sytuacji, gdy odwrócone są dokładnie dwie liczby z tej grupy?

Na przykład:

\(\displaystyle{ \underbrace{-1 \quad \textcolor{red}{-1} \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{\textcolor{red}{-1} \quad -1 \quad \textcolor{red}{-1}}_{-1} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1}}\)

można zamienić na

\(\displaystyle{ \underbrace{-1 \quad +1 \quad -1}_{?} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{+1 \quad -1 \quad +1}_{?} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1} \quad \underbrace{-1 \quad -1 \quad -1}_{-1}}\)

Jeżeli chodzi o te grupy to można je potraktować jako fleksyjne/elastyczne i, że no... muszę nad tym pomyśleć, wydaje mi się, że jest dobrze, spróbuję to jutro wyjaśnić(no chyba, że czegoś nie rozumiem).

Chcę się zapytać czy dobrze rozumiem. W książce jako wskazówka podane jest: Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie sumą przekształceń i liczby minusów. Udowodnij, że \(\displaystyle{ (-1)^a}\) nie zmienia się przy wprowadzonych w zadaniu przekształceniach. Sprawdź, że wartośc nizemiennika dla tabeli wyjściowej jest różna od jego wartości dla tabeli, którą chcemy otrzymać. Rozumiem, że chodzi o to, że przy parzystej ilości przekształceń to, \(\displaystyle{ a=2n+2k+1}\)

Niech a oznacza liczbę minusów w częsci tabeli złożonej z 8 elementów położonych parami na środkach 1 i 4 wiersza oraz 1 i 4 kolumny. Niezmiennikiem jest liczba \(\displaystyle{ (-1)^a}\). Wydaje mi się niezbyt jasna ta wskazówka.

Innymi słowy, niezmiennikiem jest iloczyn liczb zaznaczonych na czerwono:

\(\displaystyle{ \begin{array}{cccc}
+1 & \color{red}{-1} & \color{red}{+1} & +1 \\
\color{red}{+1} & +1 & +1 & \color{red}{+1} \\
\color{red}{+1} & +1 & +1 & \color{red}{+1} \\
+1 & \color{red}{+1} & \color{red}{+1} & +1 \\
\end{array}}\)

Powinieneś teraz sprawdzić, że rzeczywiście jest to niezmiennik (czyli jego wartość nie zmienia się po odwróceniu dowolnego wiersza, kolumny i przekątnej) oraz że jego wartości są różne dla obu tabel.

Rzeczywiście! Bo można zmienić zawsze tylko dwa znaki. Ale piękne!
Nad zad. 1 spróbuję jeszcze trochę pomyśleć.

[Dasio11]

W książce jako wskazówka podane jest: Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie sumą przekształceń i liczby minusów. Udowodnij, że \(\displaystyle{ (-1)^a}\) nie zmienia się przy wprowadzonych w zadaniu przekształceniach. Sprawdź, że wartośc nizemiennika dla tabeli wyjściowej jest różna od jego wartości dla tabeli, którą chcemy otrzymać.

Chcę się zapytać czy dobrze rozumiem.
[...]
Rozumiem, że chodzi o to, że przy parzystej ilości przekształceń to, \(\displaystyle{ a=2n+2k+1}\)

Źle rozumiesz - a przynajmniej tak to wygląda na podstawie tego, co napisałeś.

Opis z książki jest dość jasny, choć nie do końca ścisły: tabeli, która powstała z tabeli początkowej w wyniku wykonania \(\displaystyle{ p}\) przekształceń i zawierającej \(\displaystyle{ m}\) minus jedynek, przypisujemy liczbę \(\displaystyle{ (-1)^{p+m}}\). Do wykazania jest po pierwsze, że ta liczba nie zmienia się po wykonaniu pojedynczego przekształcenia (i w konsekwencji: dowolnej liczby przekształceń), a po drugie, że gdyby tabelę złożoną z piętnastu plus jedynek można było otrzymać w parzyście wielu krokach, to liczba przypisana tejże tabeli różniłaby się od liczby przypisanej tabeli wyjściowej (a zarazem musiałaby być jej równa - co daje sprzeczność).

W Twojej zaś wypowiedzi nie wiadomo ani w jakim charakterze jest komentarz - doprecyzowanie definicji liczby \(\displaystyle{ a}\), próba dowodu jednego z potrzebnych faktów, pomocnicza informacja? - ani też nie wyjaśniasz, czym są \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\) w równości \(\displaystyle{ a=2n+2k+1}\).

Nawiasem mówiąc, opisanej w książce liczby nie można nazwać niezmiennikiem z powodów formalnych, bo niezmiennik to coś zależnego od samej tabeli, nie może on zależeć od "liczby przekształceń".

[Hg34tY1]

Opis z książki jest dość jasny, choć nie do końca ścisły: tabeli, która powstała z tabeli początkowej w wyniku wykonania \(\displaystyle{ p}\) przekształceń i zawierającej \(\displaystyle{ m}\) minus jedynek, przypisujemy liczbę \(\displaystyle{ (-1)^{p+m}}\). Do wykazania jest po pierwsze, że ta liczba nie zmienia się po wykonaniu pojedynczego przekształcenia (i w konsekwencji: dowolnej liczby przekształceń), a po drugie, że gdyby tabelę złożoną z piętnastu plus jedynek można było otrzymać w parzyście wielu krokach, to liczba przypisana tejże tabeli różniłaby się od liczby przypisanej tabeli wyjściowej.

W Twojej zaś wypowiedzi nie wiadomo ani w jakim charakterze jest komentarz - doprecyzowanie definicji liczby \(\displaystyle{ a}\), próba dowodu jednego z potrzebnych faktów, pomocnicza informacja? - ani też nie wyjaśniasz, czym są \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ k}\) w równości \(\displaystyle{ a=2n+2k+1}\).

Nawiasem mówiąc, opisanej w książce liczby nie można nazwać niezmiennikiem z powodów formalnych, bo niezmiennik to coś zależnego od samej tabeli, nie może on zależeć od "liczby przekształceń".

Przyjmę \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ p}\) jak u Ciebe. Dowód: Przy parzystej liczbie przekształceń \(\displaystyle{ p}\) jest parzyste(to dość oczywiste), zaś \(\displaystyle{ m}\):
Przyjmę, że po pierwszym przekształceniu tabela wygląda tak:
\(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1})}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)

To po drugim przekształceniu może wyglądać tak:

\(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1})}\) \(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1})}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)

Lub tak:

\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)

Lub tak:

\(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)

Czyli \(\displaystyle{ m}\) jest nieparzyste, a \(\displaystyle{ p}\) parzyste, czyli \(\displaystyle{ m+p = 2n+1}\) i schemat powinien się utrzymywać dla \(\displaystyle{ p}\) parzystego. Wydaje mi się jednak, że to jest niezbyt elegancki dowód i nawet nie jestem do końca pewien czy jest poprawny.

A jeżeli chodzi o zad. 1. to niezmiennikiem jest iloczyn tych jedynek, tak?

\(\displaystyle{ a\begin{array}{ccc}
+1 & \textbf{+1} & \textbf{+1} \\
+1 & \textbf{+1} & \textbf{+1} \\
+1 & +1 & +1 \\
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ b\begin{array}{ccc}
+1 & \textbf{+1} & \textbf{+1} \\
+1 & \textbf{-1} & \textbf{+1} \\
+1 & +1 & +1 \\
\end{array}}\)

i skoro zmieniają się zawsze tylko dwa znaki to iloczyn się nie zmienia

[Dasio11]

Przyjmę, że po pierwszym przekształceniu tabela wygląda tak:
\(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1})}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)

To po drugim przekształceniu może wyglądać tak:

\(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1})}\) \(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ \textbf{+1})}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)

Lub tak:

\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)\(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)

Lub tak:

\(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (\textbf{+1}}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\) \(\displaystyle{ (-1}\) \(\displaystyle{ -1}\) \(\displaystyle{ -1)}\)

Oczywiście wszystkich możliwości jest o wiele więcej. Jeśli więc wypisanie tych kilku przykładów służy zilustrowaniu sytuacji, to warto podkreślić, że mają tylko charakter poglądowy - w przeciwnym razie powstaje wrażenie, że zamierzasz wyciągać wnioski ogólne na podstawie paru wybranych przypadków, co oczywiście byłoby błędem.

Czyli \(\displaystyle{ m}\) jest nieparzyste, a \(\displaystyle{ p}\) parzyste, czyli \(\displaystyle{ m+p = 2n+1}\)

Zaznaczone "czyli" wzmacnia wspomniane wcześniej wrażenie (mam nadzieję, że niesłuszne), więc też lepiej byłoby zastąpić je innym wyrazem.

Poza tym, znów: czym jest \(\displaystyle{ n}\)? Napis "\(\displaystyle{ m+p=2n+1}\)" nie jest synonimem "\(\displaystyle{ m+p}\) jest nieparzyste", tylko nieudaną próbą - zupełnie w tym miejscu niepotrzebnej - formalizacji tego stwierdzenia. Poprawną (ale nadal niepotrzebną) byłoby: \(\displaystyle{ (\exists n \in \NN) \, m+p = 2n+1}\). Jeśli więc chcesz stwierdzić, że \(\displaystyle{ m+p}\) jest liczbą nieparzystą, to lepiej jest po prostu to napisać.

i schemat powinien się utrzymywać dla \(\displaystyle{ p}\) parzystego.

To stwierdzenie jest zbyt ogólne. Po pierwsze powinieneś sprecyzować, jaki to schemat, który powinien się utrzymać, a po drugie - w zależności od tego, jak szczegółowo chcesz zapisać rozwiązanie - być może powinieneś uzasadnić, że tak rzeczywiście jest.

I w końcu: czego właściwie dowodzisz? Jeśli idziesz drogą opisaną w książce, to teza brzmi: liczba \(\displaystyle{ (-1)^{m+p}}\) jest niezmiennikiem opisanego przekształcenia. Dowód tej tezy polega wtedy na uzasadnieniu, że owa liczba nie zmienia się przy pojedynczym przekształceniu, to znaczy: jeśli \(\displaystyle{ m_1, p_1}\) są wartościami odpowiednich parametrów przed przekształceniem, a \(\displaystyle{ m_2, p_2}\) - po nim, to \(\displaystyle{ (-1)^{m_1+p_1} = (-1)^{m_2+p_2}}\). A jeśli idziesz jakąś inną drogą, to powinieneś zacząć od sformułowania tezy, której będziesz dowodził.

A jeżeli chodzi o zad. 1. to niezmiennikiem jest iloczyn tych jedynek, tak?

\(\displaystyle{ a\begin{array}{ccc}
+1 & \textbf{+1} & \textbf{+1} \\
+1 & \textbf{+1} & \textbf{+1} \\
+1 & +1 & +1 \\
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ b\begin{array}{ccc}
+1 & \textbf{+1} & \textbf{+1} \\
+1 & \textbf{-1} & \textbf{+1} \\
+1 & +1 & +1 \\
\end{array}}\)

i skoro zmieniają się zawsze tylko dwa znaki to iloczyn się nie zmienia

Dobrze.

[Hg34tY1]

Przepraszam, że nie odpisałem wcześniej ale zapomniałem hasła. Jeżeli chodzi o zadania to już zrobiłem, dzięki za pomoc i poświęcony czas.