Równanie rekurencyjne jednorodne

[pomozcieprosze]

Rozwiąż równanie rekurencyjne jednorodne:

\(\displaystyle{ a _{n} = 3a _{n-2} - 2a _{n-3} }\) dla \(\displaystyle{ n \ge 3, a _{0} = 1, a _{1} = a _{2} =0 }\)

Po podstawieniu kolejnych potęg x i wyliczeniu miejsc zerowych dostajemy \(\displaystyle{ (x-1) ^{2} (x+2)=0. }\) Dalej mam zapisane w notatkach że po wstawieniu c otrzymujemy:

\(\displaystyle{ a _{n} = c _{1} \cdot 1 ^{n} + c _{2} \cdot n + c _{3} \cdot (-2) ^{n} }\)
Dlaczego przy \(\displaystyle{ c _{2} }\) jest n, a nie \(\displaystyle{ 1 ^{n} }\)? Na pewno nie jest to błąd w zapisie, bo zadanie jest dalej rozwiązane z tym n, ale nie do końca rozumiem skąd n się wziął.

[Janusz Tracz]

Bo \(\displaystyle{ x=1}\) jest podwójnym miejscem zerowym wielomianu charakterystycznego. Rozwiązaniem równania jednorodnego jest liniowa kombinacja pewnych stałych z potęgami pierwiastków ale gdy pierwiastki są wielokrotne to nie można pisać tylko "ich" bo zepsuło by to liniową niezależność. Dlatego gdy pierwiastki są wielokrotne dodajemy \(\displaystyle{ n}\) potem \(\displaystyle{ n^2}\) itd.

Dodano po 3 minutach 26 sekundach:
Tak samo postępuje się w równaniach różniczkowych zobacz na podpunkty \(\displaystyle{ 6}\) oraz \(\displaystyle{ 10}\) tu