Wyznaczyć wzór ogólny na sumę ciągu

[41421356]

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n=2n^2-n \ \ , \ \ n\geq 1}\). Wyznaczyć wzór ogólny na sumę \(\displaystyle{ S_n}\) początkowych wyrazów tego ciągu.

[Premislav]

Zacznijmy od czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}{k\choose 2}={n+1\choose 3}}\)
Dowód: interpretacja kombinatoryczna, a mianowicie
mamy książkę o \(\displaystyle{ n+1}\) stronach i wybieramy trzy strony, które chcemy przeczytać. Z jednej strony oczywiście możemy to zrobić na \(\displaystyle{ {n+1\choose 3}}\) sposobów. Z drugiej strony możemy na to spojrzeć tak:
spójrzmy na ostatnią stronę, którą wybierzemy, będzie ona miała numer \(\displaystyle{ k+1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in \left\{2,3\ldots n\right\}}\), a to dlatego, że przed nią muszą być co najmniej dwie strony. Przy ustalonej ostatniej stronie, którą wybierzemy, mamy \(\displaystyle{ {k\choose 2}}\) układów, ponieważ spośród poprzedzających ją \(\displaystyle{ k}\) stron wybierzemy dwie.

Po pomnożeniu tego stronami przez dwa mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}\left(k^{2}-k\right)=2{n+1\choose 3}}\)
a że
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}-1}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)}{2}-1+2{n+1\choose 3}}\) i dalej łatwo to skończyć, tylko ja nie umiem dodawać i mylę się w obliczeniach, tj.
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left(2k^{2}-k\right)=\sum_{k=1}^{n}k^{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}-k\right)=\ldots }\)

[41421356]

Dziękuję bardzo za odpowiedź, wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}}\). Pani indukcja twierdzi, że to poprawny wynik