Losujemy n kul z torby.

[Sniegu]

Hej,
Zadanie jest następujące. W torbie jest N kul - r czerwonych oraz g zielonych kul. Wyciągamy bez zwracania n kul. Trzeba policzyć wartość oczekiwaną liczby czerwonych kul.
W czasie t=0 szansa na wylosowanie czerwonej kuli wynosi
\(\displaystyle{ \frac{r}{r+g}}\)
Natomiast każde kolejne wyciągniecie kul jest zależne od poprzedniego. Stwórzmy zmienną indykatorową równą 1 jeśli i'ta kula jest czerwona
\(\displaystyle{ X_i=1, }\) kula i'ta jest czerwona
Teraz posiadamy ciąg zmiennych indykatorowych
\(\displaystyle{ (X_1,....X_n)}\)
Zdarzenia są jednak zależne i nie można ich od tak zsumować. Jeżeli wyciągneliśmy kule czerwoną to następnie szansa na wyciągniecie kuli czerwonej będzie wynosić
\(\displaystyle{ \frac{r-1}{N-1}}\)
jeżeli zieloną to
\(\displaystyle{ \frac{r}{N-1}}\)
Jakieś pomysły jak ukryźć ten problem?

[Gosda]

To bardzo fajne zadanie Rozpatrz najpierw prostszy przypadek \(\displaystyle{ n = 2}\). Jaka jest szansa na wyciągnięcie kuli czerwonej za drugim razem? A jaka za pierwszym? Jaką można stąd wyciągnąć hipotezę?

[janusz47]

Doświadczenie losowe polega na losowaniu bez zwracania spośród \(\displaystyle{ N }\) kul - \(\displaystyle{ r }\) kul czerwonych i \(\displaystyle{ g - }\) kul zielonych \(\displaystyle{ - n }\) kul, \(\displaystyle{ n \leq N. }\)

Każdy \(\displaystyle{ n - }\) elementowy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ N - }\) elementowego może być wylosowany z takim samym prawdopodobieństwem.

Przy tym założeniu, liczby wylosowanych kul czerwonych i zielonych podlegają rozkładowi hipergeometrycznemu.

Wartość oczekiwana liczby \(\displaystyle{ k - }\) wylosowanych kul czerwonych \(\displaystyle{ k = 0,1,...,r }\) jest równa

\(\displaystyle{ E(k) = \sum_{k=0}^{r} k\cdot \frac{{r\choose k}\cdot {g \choose n - k}}{N \choose n}. }\)