ZAD 1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ A(x) }\) jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n }\) znajdź funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ b_n}\), jeśli:
a) \(\displaystyle{ b_n = a_{n+3},~a_0 = 1,~a_1= -1,~a_2=2,}\)
b) \(\displaystyle{ b_n = a_{n+1} + 3,~a_0 = 0}\)
Nie mam pojęcia, w ogóle od czego zacząć i jak to poprowadzić dalej...
ZAD 2. Wyznacz funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n^2,~n \geq 0}\)
Zrobiłem to "własnym" sposobem i wyszło mi: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{(1 +x) \cdot x}{(1-x)^3}}\), niestety nie wiem czy to dobry wynik.
Znalazłem taką odpowiedź do tego zadania viewtopic.php?t=164814, natomiast nie potrafię jej zrozumieć (skąd się wzielo \(\displaystyle{ \sum_{n=1} }\) z \(\displaystyle{ \sum_{n=0}}\) i kilka innych), dlatego też miałbym prośbę, czy mógłby ktoś mi rozwiązać właśnie tym sposobem do samego końca (żebym mógł się dowiedzieć czy mój wynik jest poprawny, ale także żeby zrozumieć ten sposób rozwiązania), krok po kroku tłumacząc wszystko "jak głupiemu"
Funkcje tworzące
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Funkcje tworzące
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } b_{n}x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+3}x^n= \frac{1}{x^3} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+3}x^{n+3}= \frac{1}{x^3} \left( \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^n -a_{0}-a_{1}x^1-a_{2}x^2\right)= \frac{1}{x^3}\left( A(x)-a_{0}-a_{1}x-a_{2}x\right) = \frac{1}{x^3}\left[ A(x)-1+x-2x^2\right] }\)
b) analogicznie,
zadanie drugie jest dobrze wystarczy dla sprawdzenie rozwinąć w szereg Taylora i jest ok...
b) analogicznie,
zadanie drugie jest dobrze wystarczy dla sprawdzenie rozwinąć w szereg Taylora i jest ok...