Funkcje tworzące

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
restarcik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 12 gru 2019, o 00:00
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Funkcje tworzące

Post autor: restarcik »

ZAD 1. Wiedząc, że \(\displaystyle{ A(x) }\) jest funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n }\) znajdź funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ b_n}\), jeśli:
a) \(\displaystyle{ b_n = a_{n+3},~a_0 = 1,~a_1= -1,~a_2=2,}\)
b) \(\displaystyle{ b_n = a_{n+1} + 3,~a_0 = 0}\)

Nie mam pojęcia, w ogóle od czego zacząć i jak to poprowadzić dalej... :cry:

ZAD 2. Wyznacz funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n=n^2,~n \geq 0}\)
Zrobiłem to "własnym" sposobem i wyszło mi: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{(1 +x) \cdot x}{(1-x)^3}}\), niestety nie wiem czy to dobry wynik.
Znalazłem taką odpowiedź do tego zadania viewtopic.php?t=164814, natomiast nie potrafię jej zrozumieć (skąd się wzielo \(\displaystyle{ \sum_{n=1} }\) z \(\displaystyle{ \sum_{n=0}}\) i kilka innych), dlatego też miałbym prośbę, czy mógłby ktoś mi rozwiązać właśnie tym sposobem do samego końca (żebym mógł się dowiedzieć czy mój wynik jest poprawny, ale także żeby zrozumieć ten sposób rozwiązania), krok po kroku tłumacząc wszystko "jak głupiemu" :(
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Funkcje tworzące

Post autor: arek1357 »

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } b_{n}x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+3}x^n= \frac{1}{x^3} \sum_{n=0}^{ \infty }a_{n+3}x^{n+3}= \frac{1}{x^3} \left( \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n}x^n -a_{0}-a_{1}x^1-a_{2}x^2\right)= \frac{1}{x^3}\left( A(x)-a_{0}-a_{1}x-a_{2}x\right) = \frac{1}{x^3}\left[ A(x)-1+x-2x^2\right] }\)

b) analogicznie,

zadanie drugie jest dobrze wystarczy dla sprawdzenie rozwinąć w szereg Taylora i jest ok...
ODPOWIEDZ