ile jest liczb (2n+1)-cyfrowych palindromicznych, ktore mają w zapisie 2

[rivit]

Witam.
Ile jest liczb (2n+1) cyfrowych, które zawierają dwójkę w zapisie ale nie zawierają jedynki. Liczby te muszą się zaczynać od czwórki i być palindromiczne
Czyli 4 ...... 4 coś takiego.

Proszę o pomoc

[a4karo]

Zauważ, że liczba jest jednoznacznie wyznaczona przez cyfry stojące na miejscach \(2,3,\dots,n+1\)

[Janusz Tracz]

Rozważmy \(\displaystyle{ n}\) pozycji z czego na pierwszej stoi \(\displaystyle{ 4}\). Powiedzmy, że w naszej liczbie będzie \(\displaystyle{ k}\) dwójek wybieramy dla nich miejsca na \(\displaystyle{ {n-1 \choose k} }\) sposobów a na pozostałych miejscach wstawiamy cyfrę (nie jestem, nie dwa) co uczynić można na \(\displaystyle{ 8^{n-1-k}}\) sposobów zatem wszystkich takich liczb jest:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1} {n-1 \choose k}8^{n-1-k}=9^{n-1}-8^{n-1} }\)

Dodano po 1 minucie 46 sekundach:
Całość jeszcze należy pomnożyć przez \(\displaystyle{ 9}\) jako, że środkowa liczba może zostać wybrana na \(\displaystyle{ 9}\) opcji

[rivit]

Niedługo po napisaniu posta ogarnąłęm to z wlaczen i wylaczen, anyway dzieki