Rekurencja oraz indukcja matematyczna
Rekurencja oraz indukcja matematyczna
Hej, mógłby mi ktoś pomóc w tych zadaniach i wyjaśnić o co w nich chodzi? Z góry dziękuję!
Zadanie: 2.
Powołując się na indukcję matematyczną pokazać, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) spełnia warunek
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 9 \\ f(n) = 7f(n − 1) − 48, n > 1 \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ f(n) = 7^{n} + 8, n > 0}\).
Zadanie: 3.
Niech funkcja \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) spełnia warunek
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 7 \\ f(n) = f(n − 1) + 8n + 7, n > 1 \end{cases}}\)
Wykorzystując rekurencję obliczyć wartości funkcji \(\displaystyle{ f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n = 5, 6, 7, 8, 9, 10}\). Która z poniżej
podanych odpowiedzi jest poprawna.
1) \(\displaystyle{ 172\ 229\ 294\ 367\ 448\ 537}\)
2) \(\displaystyle{ 167\ 223\ 287\ 359\ 439\ 527}\)
3) \(\displaystyle{ 162\ 217\ 280\ 351\ 430\ 517}\)
4) \(\displaystyle{ 157\ 211\ 273\ 343\ 421\ 507}\)
5) \(\displaystyle{ 177\ 235\ 301\ 375\ 457\ 547}\)
Zadanie: 2.
Powołując się na indukcję matematyczną pokazać, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) spełnia warunek
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 9 \\ f(n) = 7f(n − 1) − 48, n > 1 \end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ f(n) = 7^{n} + 8, n > 0}\).
Zadanie: 3.
Niech funkcja \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) spełnia warunek
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 7 \\ f(n) = f(n − 1) + 8n + 7, n > 1 \end{cases}}\)
Wykorzystując rekurencję obliczyć wartości funkcji \(\displaystyle{ f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n = 5, 6, 7, 8, 9, 10}\). Która z poniżej
podanych odpowiedzi jest poprawna.
1) \(\displaystyle{ 172\ 229\ 294\ 367\ 448\ 537}\)
2) \(\displaystyle{ 167\ 223\ 287\ 359\ 439\ 527}\)
3) \(\displaystyle{ 162\ 217\ 280\ 351\ 430\ 517}\)
4) \(\displaystyle{ 157\ 211\ 273\ 343\ 421\ 507}\)
5) \(\displaystyle{ 177\ 235\ 301\ 375\ 457\ 547}\)
Ostatnio zmieniony 5 gru 2019, o 18:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nie łącz pytań z różnych działów w jednym wątku.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm . Nie łącz pytań z różnych działów w jednym wątku.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rekurencja oraz indukcja matematyczna
Po pierwsze, coś słabe te rekurencje, bo w obu przypadkach nie wiadomo, ile wynosi \(\displaystyle{ f(1)}\), więc funkcje nie są poprawnie określone.
Po drugie, może byś sprecyzował, z czym masz problem.
JK
Po drugie, może byś sprecyzował, z czym masz problem.
JK
Re: Rekurencja oraz indukcja matematyczna
Takie zadania dostałem ze szkoły. Nie rozumiem kompletnie o co chodzi w tych zadaniach, jak to liczyć.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rekurencja oraz indukcja matematyczna
Po pierwsze, powinno być
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 9 \\ f(n) = 7f(n − 1) − 48, n \red{\ge} 1 \end{cases}}\)
i
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 7 \\ f(n) = f(n − 1) + 8n + 7, n \red{\ge} 1 \end{cases}}\)
inaczej te zadania nie mają sensu.
Po drugie, dostałeś je ze szkoły, więc powinieneś wiedzieć przynajmniej co znaczą słowa "indukcja" i "rekurencja".
Np. w zadaniu trzecim trzeba tylko wyliczyć kolejne wartości funkcji korzystając z podanego wzoru (zero myślenia, same liczenie).
JK
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 9 \\ f(n) = 7f(n − 1) − 48, n \red{\ge} 1 \end{cases}}\)
i
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 7 \\ f(n) = f(n − 1) + 8n + 7, n \red{\ge} 1 \end{cases}}\)
inaczej te zadania nie mają sensu.
Po drugie, dostałeś je ze szkoły, więc powinieneś wiedzieć przynajmniej co znaczą słowa "indukcja" i "rekurencja".
Np. w zadaniu trzecim trzeba tylko wyliczyć kolejne wartości funkcji korzystając z podanego wzoru (zero myślenia, same liczenie).
JK
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Rekurencja oraz indukcja matematyczna
Zadanie: 2.
\(\displaystyle{ 1^\circ\ n=0\Rightarrow \begin{cases} L=f(0)=7^{0} + 8=1+8=9\\ P=9\end{cases} \Rightarrow L=P }\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \\ Z.\ \bigwedge_{n=k\ge 0} f(k) = 7^{k} + 8
\\ T.\ n=k+1\Rightarrow f(k+1) = 7^{k+1} + 8
\\D. \ L_T=f(k+1)=7f(k)-48=7\cdot\left( 7^{k} + 8\right)-48 = 7^{k+1}+56-48=P_T}\)
Ponieważ wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n=0}\) oraz z założonej prawdziwości dla dowolnej liczby naturalnej wynika jego prawdziwość dla następnej , to na mocy ZIMZ jest prawdziwy dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)
Pozdrawiam
PS. Powoli, ale systematycznie, odkurza mi się kod
\(\displaystyle{ 1^\circ\ n=0\Rightarrow \begin{cases} L=f(0)=7^{0} + 8=1+8=9\\ P=9\end{cases} \Rightarrow L=P }\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \\ Z.\ \bigwedge_{n=k\ge 0} f(k) = 7^{k} + 8
\\ T.\ n=k+1\Rightarrow f(k+1) = 7^{k+1} + 8
\\D. \ L_T=f(k+1)=7f(k)-48=7\cdot\left( 7^{k} + 8\right)-48 = 7^{k+1}+56-48=P_T}\)
Ponieważ wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n=0}\) oraz z założonej prawdziwości dla dowolnej liczby naturalnej wynika jego prawdziwość dla następnej , to na mocy ZIMZ jest prawdziwy dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)
Pozdrawiam
PS. Powoli, ale systematycznie, odkurza mi się kod
Ostatnio zmieniony 5 gru 2019, o 20:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Rekurencja oraz indukcja matematyczna
Dowody przez założenie tezy zawsze spoko.
Co do zadań, polecałbym zacząć od zadania trzeciego, abyś zrozumiał w ogóle, czym jest rekurencja. Znasz wartość \(\displaystyle{ f(0)}\). Zastanów się jak można z tego wzoru policzyć \(\displaystyle{ f(1)}\). Ile ta wartość wynosi?
Co do zadań, polecałbym zacząć od zadania trzeciego, abyś zrozumiał w ogóle, czym jest rekurencja. Znasz wartość \(\displaystyle{ f(0)}\). Zastanów się jak można z tego wzoru policzyć \(\displaystyle{ f(1)}\). Ile ta wartość wynosi?
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rekurencja oraz indukcja matematyczna
Widzę, że zupełnie nie zrozumiałeś swojego błędu. To jest takie same zero. Zwrócę Ci uwagę na to, co napisał Tmkk:
Poza tym ten zapis jest zupełnie niepoprawny formalnie.
Widać, że z teoretycznymi podstawami indukcji masz problem...
JK