Rekurencja oraz indukcja matematyczna

[mstudnet]

Hej, mógłby mi ktoś pomóc w tych zadaniach i wyjaśnić o co w nich chodzi? Z góry dziękuję!

Zadanie: 2.
Powołując się na indukcję matematyczną pokazać, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) spełnia warunek

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 9 \\ f(n) = 7f(n − 1) − 48, n > 1 \end{cases}}\)

to \(\displaystyle{ f(n) = 7^{n} + 8, n > 0}\).

Zadanie: 3.
Niech funkcja \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) spełnia warunek

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 7 \\ f(n) = f(n − 1) + 8n + 7, n > 1 \end{cases}}\)

Wykorzystując rekurencję obliczyć wartości funkcji \(\displaystyle{ f(n)}\) dla \(\displaystyle{ n = 5, 6, 7, 8, 9, 10}\). Która z poniżej
podanych odpowiedzi jest poprawna.
1) \(\displaystyle{ 172\ 229\ 294\ 367\ 448\ 537}\)
2) \(\displaystyle{ 167\ 223\ 287\ 359\ 439\ 527}\)
3) \(\displaystyle{ 162\ 217\ 280\ 351\ 430\ 517}\)
4) \(\displaystyle{ 157\ 211\ 273\ 343\ 421\ 507}\)
5) \(\displaystyle{ 177\ 235\ 301\ 375\ 457\ 547}\)

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze, coś słabe te rekurencje, bo w obu przypadkach nie wiadomo, ile wynosi \(\displaystyle{ f(1)}\), więc funkcje nie są poprawnie określone.

Po drugie, może byś sprecyzował, z czym masz problem.

JK

[mstudnet]

Takie zadania dostałem ze szkoły. Nie rozumiem kompletnie o co chodzi w tych zadaniach, jak to liczyć.

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze, powinno być

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 9 \\ f(n) = 7f(n − 1) − 48, n \red{\ge} 1 \end{cases}}\)

i

\(\displaystyle{ \begin{cases} f(0) = 7 \\ f(n) = f(n − 1) + 8n + 7, n \red{\ge} 1 \end{cases}}\)

inaczej te zadania nie mają sensu.

Po drugie, dostałeś je ze szkoły, więc powinieneś wiedzieć przynajmniej co znaczą słowa "indukcja" i "rekurencja".

Np. w zadaniu trzecim trzeba tylko wyliczyć kolejne wartości funkcji korzystając z podanego wzoru (zero myślenia, same liczenie).

JK

[JHN]

Zadanie: 2.
\(\displaystyle{ 1^\circ\ n=0\Rightarrow \begin{cases} L=f(0)=7^{0} + 8=1+8=9\\ P=9\end{cases} \Rightarrow L=P }\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \\ Z.\ \bigwedge_{n=k\ge 0} f(k) = 7^{k} + 8
\\ T.\ n=k+1\Rightarrow f(k+1) = 7^{k+1} + 8
\\D. \ L_T=f(k+1)=7f(k)-48=7\cdot\left( 7^{k} + 8\right)-48 = 7^{k+1}+56-48=P_T}\)
Ponieważ wzór jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n=0}\) oraz z założonej prawdziwości dla dowolnej liczby naturalnej wynika jego prawdziwość dla następnej , to na mocy ZIMZ jest prawdziwy dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\)

Pozdrawiam
PS. Powoli, ale systematycznie, odkurza mi się kod

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 2^\circ \\ Z.\ \bigwedge_{n=k\ge 0} f(k) = 7^{k} + 8}\)

Za coś takiego masz duże zero bez czytania dalej.

JK

[Tmkk]

Dowody przez założenie tezy zawsze spoko.

Co do zadań, polecałbym zacząć od zadania trzeciego, abyś zrozumiał w ogóle, czym jest rekurencja. Znasz wartość \(\displaystyle{ f(0)}\). Zastanów się jak można z tego wzoru policzyć \(\displaystyle{ f(1)}\). Ile ta wartość wynosi?

[JHN]

Racja
Powinno być:
\(\displaystyle{ Z.\ \bigwedge_{n=k\ge 1} f(k) = 7^{k} + 8}\)

Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

Powinno być:
\(\displaystyle{ Z.\ \bigwedge_{n=k\ge 1} f(k) = 7^{k} + 8}\)

Widzę, że zupełnie nie zrozumiałeś swojego błędu. To jest takie same zero. Zwrócę Ci uwagę na to, co napisał Tmkk:

Dowody przez założenie tezy zawsze spoko.

Poza tym ten zapis jest zupełnie niepoprawny formalnie.

Widać, że z teoretycznymi podstawami indukcji masz problem...

JK