Sumy ciągów

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Sumy ciągów

Post autor: Bozydar12 »

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\). Proszę obliczyć wyrażenie:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(a_{n} - a)}\), gdzie \(\displaystyle{ a= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_{i} }\).
Otóż chciałbym zweryfikować odpowiedź jaka mi wychodzi.
Wyrażenie a, jest niczym innym jak średnią arytmetyczną wszystkich wyrazów ciągu, więc mogę zapisać:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(a_{i}- \frac{(a_{1}+...a_{n})}{n})}\), rozwijając to, wynik wychodzi mi zero, zastanawiam się czy jest to poprawnym rozwiązaniem, czy nie rozumiem istoty stosowania sumy, w innej sumie.
Bo wydaje mi się, że jeżeli zapiszę \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(a_{n} - a)=\sum_{i=1}^{n}(a_{n})-\sum_{i=1}^{n}(a)=\sum_{i=1}^{n}(a_{n})-\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} a_{k}}\), tyle że nie wiem czy mogę tak interpretować tę sumę 'a', oraz w jaki sposób ją ostatecznie liczyć, jeżeli można to tak stosować.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Sumy ciągów

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n (a_k-a)=\sum_{k=1}^n a_k -\sum_{k=1}^n a=\sum_{k=1}^n a_k -na}\)
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Sumy ciągów

Post autor: Bozydar12 »

a4karo pisze: 23 lis 2019, o 22:52 \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n (a_k-a)=\sum_{k=1}^n a_k -\sum_{k=1}^n a=\sum_{k=1}^n a_k -na}\)
No to idąc tym tokiem rozumowania dalej:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n (a_k-a)=\sum_{k=1}^n a_k -\sum_{k=1}^n a=\sum_{k=1}^n a_k -na =(a_{1}+a_{2}+...a_{n})-n \cdot \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})}{n} = 0 }\) To właśnie tak zrobiłem na początku, ale nie wiem czy właśnie o to w zadaniu chodzi, w sensie o takie zastosowanie tej sumy
Ostatnio zmieniony 24 lis 2019, o 00:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Sumy ciągów

Post autor: a4karo »

I tyle ma wyjść. Żadnej filozofii tutaj nie ma
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Sumy ciągów

Post autor: Bozydar12 »

no właśnie dlatego tak pytam bo niedowierzam, a ćwiczeniowiec mi powiedział iż wynik jest nieprawidłowy jak chciałem oddać jako jedyna osoba, a tu się chyba okazuje ze mam rację
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Sumy ciągów

Post autor: a4karo »

Może zapisałeś coś innego niż chciałeś. Twój zapis w ostatniej linii pierwszego posta jest niepoprawny.
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Sumy ciągów

Post autor: Bozydar12 »

Otóż to, wiedziałem iż jest zły, ale biorąc pod uwagę, że powiedziano mi iż pierwszy sposób jest zły, czyt. ten gdzie wychodzi zero, to próbowałem znaleźć inny, wypisując własnie ten błędny zapis. No nic, będę musiał walczyć i udowodnić że mam rację, dziękuje za pomoc.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Sumy ciągów

Post autor: Jan Kraszewski »

Ja bym przedstawił pierwszy sposób i poprosił o wskazanie "błędu".

JK
ODPOWIEDZ