Czy prawdą jest, że istnieje 47 takich rozwiązań?

[DandeZ]

Rozważmy równanie
\(\displaystyle{ x_1 + …. + x_5 = 20}\), \(\displaystyle{ x_i}\) – liczby naturalne nieujemne, \(\displaystyle{ i = 1, 2, 3, 4, 5}\).
Liczby występujące w każdym rozwiązaniu porządkujemy od największej do najmniejszej.

Czy prawdą jest, że istnieje \(\displaystyle{ 30}\) rozwiązań, które (po uporządkowaniu) są identyczne?

Czy prawdą jest, że istnieje \(\displaystyle{ 47}\) takich rozwiązań?

Jak bym to zrobił tak:

\(\displaystyle{ P(20,5) = 84}\).
W podziale na składniki nie ma zer, więc w f. diopantycznej daję warunek, że każda wartość \(\displaystyle{ \ge 1}\) i uzyskuję \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +x_5 = 15}\) i jest to \(\displaystyle{ 3876}\).

Przechodzimy teraz do zasady szufladkowej, a więc:

\(\displaystyle{ 3876 > r \cdot 84}\)

Największe r całkowite spełniające równanie to \(\displaystyle{ 46}\), więc na mocy zasady szufladkowej wiemy, że istnieje taka pula rozwiązań f.diopantycznej \(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +x_5 = 15}\), których uporządkowanych rozwiązań po uporządkowaniu jest co najmniej \(\displaystyle{ 47}\).

W tym wypadku było by prawdą, że istnieje \(\displaystyle{ 47}\) takich rozwiązań.
Z tego samego wynika też, że istnieje też \(\displaystyle{ 30}\) takich rozwiązań, które po uporządkowaniu są takie same.

Czy dobrze myślę?

[kerajs]

\(\displaystyle{ 20=5+5+5+4+1=5+4+4+4+3}\)
Takich rozwiązań jest: \(\displaystyle{ \frac{5!}{3!}=20 }\)
\(\displaystyle{ 20=5+5+4+4+2}\)
Takich rozwiązań jest: \(\displaystyle{ \frac{5!}{2!2!}=30 }\)
Nie ma rozwiązania które zawierałoby pięć lub cztery różnych liczb z podanego zbioru, więc 47 identycznych (po uporządkowaniu) rozwiązań nie istnieje.

[JHN]

...Nie ma rozwiązania które zawierałoby pięć lub cztery różnych liczb z podanego zbioru, ...

A jednak \(\displaystyle{ 1+2+3+4+10=20}\)
Wszystkich rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich jest \(\displaystyle{ {19 \choose 4} }\) , a w całkowitych nieujemnych jest \(\displaystyle{ {21 +4-1 \choose 4} }\).
Pozostaje uporządkować, ale na to nie mam chwilowo pomysłu...

Pozdrawiam

[edited]

Jeżeli \(\displaystyle{ x_i \ne x_j}\) dla \(\displaystyle{ i \ne j}\), to istnieje \(\displaystyle{ 5!=30}\) rożnych rozwiązań porządkujących się do jednego. I jest to największa ilość, bo jeżeli powtórzą się co najmniej dwa x, to mniej rozwiązań będzie się porządkowało do jednego!

[kerajs]

...Nie ma rozwiązania które zawierałoby pięć lub cztery różnych liczb z podanego zbioru, ...

A jednak \(\displaystyle{ 1+2+3+4+10=20}\)

Jak zwykle nie doczytałem i przyjąłem że rozwiązaniami mogą być liczby tylko z \(\displaystyle{ {1,2,3,4,5}}\), i stąd wynika moje rozwiązanie.

[arek1357]

Przecież są to partycje liczby 20:

\(\displaystyle{ P(20,5)=}\)